2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пожалуйста, помогите решить задачу про турнир шашек! :-)
Сообщение28.04.2012, 18:42 


28/04/12
2
Люблю олимпиадную математику) вызвала интерес вот такая вот задачка... может, кто-нибудь знает ее решение? "Несколько учащихся 9А и 9Б классов организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш - 0 очков. Учащиеся 9А класса вместе набрали 26 очков, а учащиеся 9Б класса, которых было на 3 больше, набрали очков поровну. Сколько было участников турнира?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Пожалуйста, помогите решить задачу про турнир шашек! :-)
Сообщение28.04.2012, 19:38 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Пусть в А классе $x$ учеников. Тогда в Б классе $x+3$. Всего их $2x+3$, значит было сыграно $\frac{(2x+3)(2x+2)}{2}$ игр. С учётом того, что за каждую игру, вне зависимости от результата участники получают в сумме 2 очка, то всего было получено $(2x+3)(2x+2)$ очка. И если у учеников класса А в сумме $26$ очков, то у учеников класса Б $(2x+3)(2x+2)-26$
Из условия задачи следует что $(2x+3)(2x+2)-26=(x+3)(4x-2)-14$ делится на $x+3$, а значит и $14$ делится на $x+3$, откуда $x$ равен либо 11, либо 4. Осталось проверить оба варианта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пожалуйста, помогите решить задачу про турнир шашек! :-)
Сообщение28.04.2012, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Ответ: 11

Пусть из 9Б было $x$ участников. Тогда из 9А было $x-3$ участников. Всего было $2x-3$ участника и набрано $(2x-3)(2x-4)$ очков. Пусть каждый из 9Б набрал $y$ очков. Общее количество очков, набранных учениками 9Б не может быть больше суммы чисел $x(x-1)$ (очки в играх между собой) и $2x(x-3)$ (очки в играх между учениками разных классов). Получаем такую систему: $$\begin{cases}
26+xy=(2x-3)(2x-4),\\
xy \leqslant x(x-1)+2x(x-3).
\end{cases}$$Из первого уравнения получаем: $y=4x-14-\frac {14} x$. Учитывая, что $x$ и $y$ - целые числа, причём $x>3$, получаем две пары решений $(x,y)$: $(7,12)$ и $(14,41)$. Неравенство исключает вторую пару. Значит $x=7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пожалуйста, помогите решить задачу про турнир шашек! :-)
Сообщение28.04.2012, 19:41 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Dave в сообщении #565114 писал(а):
Всего было $2x-3$ участника и набрано $(2x-3)(2x-2)$ очков.

По-моему, вы ошиблись с количеством очков)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пожалуйста, помогите решить задачу про турнир шашек! :-)
Сообщение28.04.2012, 20:01 


28/04/12
2
MrDindows в сообщении #565112 писал(а):
Пусть в А классе $x$ учеников. Тогда в Б классе $x+3$. Всего их $2x+3$, значит было сыграно $\frac{(2x+3)(2x+2)}{2}$ игр. С учётом того, что за каждую игру, вне зависимости от результата участники получают в сумме 2 очка, то всего было получено $(2x+3)(2x+2)$ очка. И если у учеников класса А в сумме $26$ очков, то у учеников класса Б $(2x+3)(2x+2)-26$
Из условия задачи следует что $(2x+3)(2x+2)-26=(x+3)(4x-2)-14$ делится на $x+3$, а значит и $14$ делится на $x+3$, откуда $x$ равен либо 11, либо 4. Осталось проверить оба варианта.

Правильный ответ 11! :-) Дело в том, что мое решение было идентично Вашему, но я не стал решать Ваше последнее уравнение... засомневался...решил, что перебором тут не надо решать... а нужно получить готовый ответ из системы уравнений...спасибо Вам))) буду смелее в следующий раз)

-- 28.04.2012, 21:01 --

Друзья!!! Спасибо Вам всем)))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group