Решение Конечно-разностных или Рекуррентных уравнений

[Катрина]

Товарищи знатоки Дискретной математики и,в частности, Комбинаторики(не побоюсь этого слова) . Не могу справиться с решением следующих задач:
8.Найти решение системы рекуррентных уравнений с начальными условиями
a с индексом(n+1) = b с индексом (n) + 5,
b с индексом(n+1) = -a с индексом(n) + 3,
a1 = 1, b1 = -1.
Это система из 3-х уравнений,причем n+1 и n -это индексы a и b , а не произведение
9. Найти производящую функцию A(t) для последовательности {a(n)}при a(n) =1/n
Здесь n-тоже индекс a
10. Доказать неравенство ( 2n - 1)!! < n в степени n , n>1 и ( 2n - 1)!! = 1*3*5*ј*(2n - 1).

Если у Вас найдется время натолкните меня на какую-нибудь идею и помогите решить!!! Большое Спасибо!

[juna]

9) $t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3}t^3+...=\ln(\frac{1}{1-t})$
8) - не понял условие.

[RIP]

Я правильно понимаю, что 8) звучит примерно так?

$$a_{n+1}=b_n+5;$$

$$b_{n+1}=-a_n+3;$$

$$a_1=1,b_1=-1$$

Надо просто выразить $a_{n+2}$ через $a_n$, соответственно, $b_{n+2}$ через $b_n$. Дальше уже просто.

Добавлено спустя 1 минуту 59 секунд:

10. Надо просто перемножить $n$ неравенств

$$k(2n-k)\leqslant n^2,\ k=1,3,\ldots,2n-1.$$

Причем хотя бы одно из неравенств строгое.

[нг]

Катрина:
учитесь записывать формулы на форуме. Краткая инструкция всегда с нами.

[Катрина]

спасибо за помощь. В след раз постраюсь правильно записываь мат. формулы

[V.V.]

RIP писал(а):

$$a_{n+1}=b_n+5;$$

$$b_{n+1}=-a_n+3;$$

$$a_1=1,b_1=-1$$

Надо просто выразить $a_{n+2}$ через $a_n$, соответственно, $b_{n+2}$ через $b_n$. Дальше уже просто.

Можно и через производящие функции делать.

[Руст]

Проще всего ввести комплексные переменные $c_n=a_n+ib_n$, тогда рекурентное соотношение примет вид $c_{n+1}=-ic_n+5+3i$. Отсюда получается решение $c_n=\frac{5+3i}{1+i}+(-i)^nc_*=4-i+3(-i)^{n+1}.$