Забор, кислота

[mr.tumkan]

1) Четыре рабочих ставят забор. Известно, что $2, 3$ и $4$ рабочий могут поставить забор за $4 $ ч; $1, 3$ и $4$ – за $3$ ч. Если же забор будут ставить только первые $2$ рабочих, то он будет поставлен за $6$ ч. За сколько времени все $4$ рабочих поставят забор, работая вместе?

Хватит ли условий? $t_i$ - время, за которое поставит $i$-ый рабочий забор.

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6}$

Отсюда следует, что $t_4=6$, но $t_1+t_2+t_3+t_4$ не знаю как найти...

2) Есть $m_1=2$ кг раствора кислоты одной концентрации $n_1$ и $m_2=6$ кг раствора этой же кислоты другой концентрации $n_2$. Если их смешать, что получится $36$%-ный раствор. Если же растворы смешать в равном количестве (по массе), то получится $32%$%-ный раствор. Найдите концентрации имеющихся растворов.

По условию

$m_1n_1+m_2n_2=0,36(m_1+m_2)$

$n_1+n_2=0,32$

Тогда:

$2(0,32-n_2)+6n_2=0,36\cdot 8$

$0,32-n_2+3n_2=0,36\cdot 4$

$2n_2=1,44-0,32=1,02$

$n_2=0,51$

Если учесть, что $n_1+n_2=0,32$, то $n_1=-0,19$, но не может ведь концентрация быть отрицательной? В чем ошибка?

-- 27.04.2012, 05:32 --

Наверное, это надо было в раздел "математика", что-то промахнулся. Было бы здорово, если бы перенесли!

[Александрович]

$n_1+n_2=2\cdot 0.32$

[Alexandr007]

mr.tumkan в сообщении #564380 писал(а):

Хватит ли условий? $t_i$ - время, за которое поставит $i$-ый рабочий забор.

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6}$

Проверьте систему уравнений.

[mr.tumkan]

Александрович в сообщении #564386 писал(а):

$n_1+n_2=2\cdot 0.32$

Спасибо, это теперь эта задача понятна!

-- 27.04.2012, 10:23 --

Alexandr007 в сообщении #564388 писал(а):

Проверьте систему уравнений.

Ох, проверил, но ошибка не очевидна, все равно 3 уравнения и 4 неизвестных, в любом случае не найти единственного решения. Может быть я упустил какую-то часть условия? Или уравнения в корне неверные?

[Alexandr007]

mr.tumkan в сообщении #564452 писал(а):

все равно 3 уравнения и 4 неизвестных, в любом случае не найти единственного решения.

Можно решать двумя способами.
1) Выразить 3 неизвестных через одну и подставить в искомое выражение, убедиться что неизвестная переменная исчезнет.
2) скомбинировать уравнения, чтобы сразу получилось искомое выражение.

[mr.tumkan]

Спасибо, попробовал, но не получилось

(первый способ тут)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}$ (1)

$\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{4}$ (2)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6}$ (3)

$(2)+(3)$=> $\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{2}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{5}{24}-\dfrac{1}{2t_1}-\dfrac{1}{2t_3}-\dfrac{1}{2t_4}$

Подставим в $1,2,3$

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{5}{24}-\dfrac{1}{2t_1}-\dfrac{1}{2t_3}-\dfrac{1}{2t_4}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}$ (1)

$\dfrac{5}{24}-\dfrac{1}{2t_1}-\dfrac{1}{2t_3}-\dfrac{1}{2t_4}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{4}$ (2)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{5}{24}-\dfrac{1}{2t_1}-\dfrac{1}{2t_3}-\dfrac{1}{2t_4}=\dfrac{1}{6}$ (3)

Другими словами...

$\dfrac{1}{2t_1}-\dfrac{1}{2t_3}-\dfrac{1}{2t_4}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{24}$ (1)

$-\dfrac{1}{2t_1}+\dfrac{1}{2t_3}+\dfrac{1}{2t_4}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{24}$ (2)

$\dfrac{1}{2t_1}-\dfrac{1}{2t_3}-\dfrac{1}{2t_4}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{24}$ (3)

(второй способ тут)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}$ (1)

$\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{4}$ (2)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6}$ (3)

Вычтем из (1) уравнение (3) => $t_3=6$

Тогда остается 2 уравнения с тремя неизвестными.

$\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{12}$ (2)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6}$ (3)

К любому уравнению можно к правой и левой части прибавить $\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{6}$,

тогда получится тоже самое, что и было вначале. А что дальше делать - не очевидно((

(третий способ тут)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}$ (1)

$\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{4}$ (2)

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6}$ (3)

$x$ - сумма всех скоростей

$x-\dfrac{1}{t_4}=\dfrac13$ (1)

$x-\dfrac{1}{t_2}=\dfrac14$ (2)

$x-\dfrac{1}{t_3}-\dfrac{1}{t_4}=\dfrac16$ (3)

[Alexandr007]

mr.tumkan в сообщении #564520 писал(а):

(первый способ тут)
$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3}=\dfrac{1}{3}$ (1)

Прочитайте еще раз условие и сравните с уравнением.

[mr.tumkan]

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_4}=\dfrac{1}{3}$

Вот теперь все понятно и получилось решить, спасибо.

$t_1=8$

$t_2=24$

Ну дальше осталось дело техники)

Ответ будет $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{3}{8}$

Только тогда будет суммарное время $\dfrac{8}{3}$, что не есть хорошо... 2 часа и 40 минут...