Вывод формулы площадь графика

[Unconnected]

$S=-\int y(t)x'(t)dt$ - это площадь фигуры, заданной параметрически. Как выводится эта формула?

[Алексей К.]

Во-первых, интеграл дико определённый должен быть. Вот, например, захотим мы убедиться, что для кривой $[x(t),\;y(t)+b]$ (т.е. передвинули кривую на $b$ по $y$) площадь по этой формуле получается та же самая. Сразу определённость интеграла потребуется.

Во-вторых, в заголовке некий график фигурирует, а речь идёт, видимо, о замкнутой кривой.

В-третьих, желая убедиться в справедливости такой формулы, я бы по-старинке перешёл от $dt$ к $\Delta t$, от интеграла к интегральной сумме, и попытался бы там увидеть сумму площадей врисованных треугольничков.

И всё это я уверенно пишу, пока даже не попытамшись нарисовать и проверить (ну, а про "во-первых" --- это я даже в уме проверить сумел).

-- 26 апр 2012, 23:29:56 --

Вот от путаницы со словом "график", пожалуй, надо в первую очередь избавиться.

[Unconnected]

Да, забыл написать, интеграл определенный(от 0 до T - верхней границы параметра), и ещё там не "график", а замкнутая фигура, обход против часовой стрелки (не знаю, правда, почему именно так).
Треугольничков не видать( прямоугольничков тоже. Точнее, их видать, но с формулой не вяжется..

[Dan B-Yallay]

Указанная Вами формула подозрительно напоминает формулу площади под параметрически заданной кривой:
Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
Но замкнутой линией там и не пахнет. Откуда взяли формулу? Ссылка / учебник.

[Алексей К.]

Проверять буду завтра (по ночам думать не умею). А Вы уже убедились, что она верна хотя бы для окружности

$$x(t)=a+R\cos t,\;y(t)=b+R\sin t, \;0\le t\le 2\pi?$$

Или мне завтра с этого начинать?

[Dan B-Yallay]

Наверное можно как-то свести. Но как избавиться от разницы между верхней и нижней частью кривой пока непонятно.

[Unconnected]

Цитата:

Откуда взяли формулу? Ссылка / учебник.

Демидович, с.230 (параграф Вычисление площадей). Для неё есть ещё два вида: $S=\int_{0}^{T}x(t)y'(t)dt=0.5\int_{0}^{T}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]dt$. Ещё отдаленно похоже на замену переменной, в первой формуле это будто так и есть, если выразить t через икс. Но по смыслу же другое.

А вообще.. мы вроде сначала вручную вычисляли, $S=\int_{0}^{T}[Y_{verh} - Y_{nizh}]dt$, где T - это самая правая точка кривой.. и оттуда мб как-то следовали эти, остальные формулы.

[Алексей К.]

Всё верно, вроде. Представьте для начала, что вся фигура лежит выше оси абсцисс. У Вас под интегралом по сути $y\,\Delta x$, площадь некого прямоугольника, опирающегося на ось абсцисс, содержащая и нужный, и ненужный кусочек искомой площади. Ввиду замкнутости мы к этому прямоугольнику придём ещё раз, только $\Delta x$ будет противоположного знака, и тот лишний-ненужный кусок вычтется. Останется только полезная площадь.

Это можно также рассматривать как (удвоенную) площадь треугольника с вершинами в точках $(0,0)$, $(x(t),y(t))$, $(x(t+dt),y(t+dt))$.
Варианты: начало координат вне фигуры или внутри фигуры. Если внутри, то все просуммированные площади будут "нужными".
Если вне, то будут "нужные" и "ненужные" куски площади, ненужные потом отнимутся.

Осознаю, что плохо написал. Но не уверен, что в рабочее время смогу придумать слова получше или картинку приготовить.
Может, будет проще поискать хорошее объяснение в интернете.

[ewert]

Да при чём тут суммы. Просто параметризацию контура можно считать периодической. И за счёт сдвига параметра (сдвиг на интеграле не отражается) всегда можно считать, что $t=0$ и $t=T$ задают крайнюю левую точку контура. Если теперь $t=a$ задаёт крайнюю правую точку и контур обходится по часовой стрелке, то $\int\limits_0^ay(t)\,x'(t)\,dt=\int\limits_{x(0)}^{x(a)}y(x)\,dx$ даёт площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней границей контура. А интеграл от $a$ до $T$, соответственно, площадь под нижней границей, но уже с противоположным знаком. Т.е. при сложении этих интегралов модули площадей вычитаются, вот и получается площадь, ограниченная контуром. Соответственно, если контур обходится против часовой стрелки, то плюс площадь даётся минус интегралом $\int\limits_0^Ty(t)\,x'(t)\,dt.$

Это, конечно, при условии, что контур "хороший" в том смысле, что до точки $a$ функция $x(t)$ монотонно (не обязательно строго) возрастает, а за этой точкой убывает. Но это уже некоторая ловля блох, т.к. любой разумный контур можно разбить на "хорошие".

[Алексей К.]

$$\begin{picture}(300,100) \put(0,0){\vector(1,0){300}} \put(0,0){\vector(0,1){100}} \put(20,20){\vector(1,0){100}} \put(120,20){\vector(0,1){70}} \put(120,90){\vector(-1,0){100}} \put(20,90){\vector(0,-1){70}} \put(170,20){\vector(1,0){100}} \put(270,20){\vector(0,1){70}} \put(270,90){\vector(-1,0){100}} \put(170,90){\vector(0,-1){70}} \color{blue} \linethickness{1pt} \put(70,90){\vector(-1,0){10}} \put(60,90){\line(0,-1){90}} \put(70,0){\line(0,1){90}} \color{green} \put(210,20){\vector(1,0){10}} \put(210,20){\line(0,-1){20}} \put(220,0){\line(0,1){20}} \end{picture}$$

Mы движемся по контуру и считаем $\int_a^b y\,dx$.
У синего прямоугольничка $dt>0$ (dt всегда больше нуля, параметр при движении вдоль кривой строго возрастает), $dx<0$ (икс-координата при движении по верхней границе уменьшается).
Вклад этого прямоугольника (1) отрицателен; (2) содержит и минус-нужный, и минус-лишний кусок.
У зелёного прямоугольничка $dt>0$, $dx>0$ .
Вклад этого прямоугольника (1) положителен; (2) в содержит только +лишний кусок, что при суммировании даёт только -нужный кусок (-нужный-лишний+лишний); (3) но с обратным знаком.
Минус в формуле восстанавливает знак.
Для формулы "по часовой стрелке" минус не понадобится.

[svv]

$S_G=\int\limits_G dx\wedge dy = \int\limits_G d(-ydx)=-\int\limits_{\partial G}ydx$

$S_G=\int\limits_G dx\wedge dy = \frac 1 2\int\limits_G d(xdy-ydx)=\frac 1 2\int\limits_{\partial G}xdy-ydx$

[ewert]

не поможет, это гораздо более элементарный вопрос

[Dan B-Yallay]

Dan B-Yallay в сообщении #564368 писал(а):

Но как избавиться от разницы между верхней и нижней частью кривой пока непонятно.

Алексей К. в сообщении #564505 писал(а):

Mы движемся по контуру и считаем $\int_a^b y\,dx$.

Теперь понятно, даже мне.

[Unconnected]

И мне понятно) Спасибо!