Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$

[gris]

Так какие окончательные требования к функции?
Непрерывность и монотонное возрастание?

[xmaister]

gris в сообщении #563778 писал(а):

Непрерывность и монотонное возрастание?

Да

-- 25.04.2012, 17:59 --

Ещё интересует следующий вопрос: Пусть $f:[a,b]\to [a,b]$- непрерывная функция, не обязательно монотонная. Верно ли что последовательность $x_{n+1}=f(x_n), x_1\in [a,b]$ сходится тогда и только тогда, когда $\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0$?. Если $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ сходится, то очевидно, а обратно не получается, и примера найти не могу.

[xmaister]

Не понимаю как подойти доказательству обратного утверждения. Пытался равномерную непрерывность $f$ использовать, но это не помогает даже чуть-чуть продвинуться...

[gris]

Мне кажется, что обратное неверно.
Для последовательности без рекурсивной функции легко построить контрпример. Возьмём последовательность частичных сумм гармонического ряда. Предел разности соседних членов равен нулю, но она расходится. Надо только своевременно заворачивать её, чтобы все члены принадлежали отрезку.

А вот с рекуррентной формулой вопрос: можно ли подобрать соответствующую непрерывную функцию? Что-то и не соображу с утра.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #564059 писал(а):

Что-то и не соображу с утра.

Я тоже с утра что-то не соображу.

Представил, как эта точка $x_n$ по отрезку $[a,b]$ "ходить" будет... Взад-вперёд, взад-вперёд... И шаг всё время будет уменьшаться. Но предела не будет. Скорее всего, это невозможно.

[gris]

Если точки связаны непрерывным рекуррентным соотношением, то возможно и не будет. Тут ещё тонкий вопрос о наступлении в одну и ту же точку. Ну да можно отследить.
А если просто последовательность, то чего ей иметь предел? Ряд же расходится к бесконечности. Шажочки всё меньше, но от стенки до стенки дойти можно.
Почему-то вспомнил "Рассказы о Ленине", как он в тюремной камере ходил.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #564064 писал(а):

Шажочки всё меньше, но от стенки до стенки дойти можно.

Да я это понимаю. Но тут ведь именно что рекуррентное соотношение, да ещё и задаваемое непрерывной функцией! Следовательно, наступать на ту точку, в которой он уже побывал, Ленин не может (иначе не будет $x_{n+1} - x_n \to 0$). Но ведь на сколь угодно близкие точки он наступать будет!

В общем, ничерта пока не понятно.

[RIP]

Да верно обратное. Если предела нет, то множество значений посл-ти плотно в отрезке $[\liminf x_n,\limsup x_n]$. Фиксируем $x_{n_0}$ и найдём подпосл-ть $x_{n_k}\to x_{n_0}$. Тогда $x_{n_k+1}=f(x_{n_k})\to f(x_{n_0})=x_{n_0+1}$. Но $x_{n_k+1}=x_{n_k}+o(1)\to x_{n_0}$, так что $x_{n_0}=x_{n_0+1}$, чего не может быть.

[INGELRII]

Непопадания дважды в одну точку, кстати, легко добиться: пусть длина $i$-го шага Ленина равна $\frac{1}{p_i}$, где $p_i$ - это $i$-е простое число.

(Оффтоп)

Вообще, нравится мне образность мышления здешних форумчан Может, переименовать тему в "Задача о Ленине"?

[ewert]

Уж одна-то предельная точка всяко есть. Поэтому вопрос о сходимости сводится к тому, может ли быть у этой последовательности ещё одна (другая) предельная точка.

Нет, не может. Поскольку в противном случае из стремления шага к нулю следовало бы, что:

1) любая точка между двумя предельными -- также предельная;
2) любая предельная точка стационарна (тут ещё нужна непрерывность функции);
3) и, следовательно, рано или поздно последовательность упирается в стационарную точку.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #564135 писал(а):

Уж одна-то предельная точка всяко есть. Поэтому вопрос о сходимости сводится к тому, может ли быть у этой последовательности ещё одна (другая) предельная точка.

Нет, не может. Поскольку в противном случае из стремления шага к нулю следовало бы, что:

1) любая точка между двумя предельными -- также предельная;
2) любая предельная точка стационарна (тут ещё нужна непрерывность функции);
3) и, следовательно, рано или поздно последовательность упирается в стационарную точку.

Э-э-э... Вы поосторожнее с заявлениями! При каких условиях то, что Вы написали, верно? Явна не при условиях из первого сообщения темы.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #564147 писал(а):

При каких условиях то, что Вы написали, верно?

Чётко же сказано: при условии, что шаг стремится к нулю и при этом функция непрерывна. Если хоть одно из этих условий не выполнено -- сходимость, естественно, не гарантирована.

Ну и при условии инъективности, это уж само собой.

-- Чт апр 26, 2012 15:16:33 --

На всякий случай:

ewert в сообщении #564135 писал(а):

1) любая точка между двумя предельными -- также предельная;

-- это то же самое, что и:

RIP в сообщении #564097 писал(а):

множество значений посл-ти плотно в отрезке $[\liminf x_n,\limsup x_n]$.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #564150 писал(а):

Чётко же сказано: при условии, что шаг стремится к нулю и при этом функция непрерывна.

Где сказано? В некоторых предыдущих сообщениях, но не в Ваших. Так что непонятно, на что именно Вы отвечаете.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #564153 писал(а):

непонятно, на что именно Вы отвечаете.

На последнее интересование ТС, ессно. По умолчанию.

[xmaister]

ewert в сообщении #564135 писал(а):

любая точка между двумя предельными -- также предельная;

Не понимаю. Почему?