Неравенство

[neo66]

Известно, что $3^{\sqrt3}\geq6$. Доказать, что из этого следует неравенство $3^{\sqrt3}\leq7$. Пользоваться калькулятором и оценками $\sqrt3$ запрещается.

[RIP]

У меня есть длинное и неинтересное доказательство.
Умножим неравенство на $3$:
$3^{\sqrt3+1}\geqslant18>16=2^4=2^{2(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}$,
откуда $2^{2(\sqrt3-1)}<3$.
Умножим это на $16=2^4$:
$2^{2(\sqrt3+1)}<48<49=7^2$, значит, $2^{\sqrt3+1}<7$.
Если бы было $3^{\sqrt3}\geqslant7$, то $2^{\sqrt3+1}<3^{\sqrt3}$.
Возведём это в степень $\sqrt3-1$:
$2^2<3^{3-\sqrt3}$, откуда $3^{\sqrt3}<{3^3}/2^2<7$. Противоречие, значит, $3^{\sqrt3}<7$.

[neo66]

По моему, замечательное доказательство. Другого я, все равно, не знаю.

[RIP]

Но наверняка же можно покороче.

Добавлено спустя 1 час 41 минуту 56 секунд:

Что мне больше всего понравилось в этом док-ве, так это то, что мы предполагаем, что $3^{\sqrt3}\geqslant7$ и получаем $3^{\sqrt3}<7$ .
В принципе надо просто получить неравенство $2^{\sqrt3+1}\leqslant3^{\sqrt3}$ (оно верное), но вывести его из $3^{\sqrt3}\geqslant6$ у меня не получилось.