Перенос методов ТКП на двумерное пространство-время.

[g______d]

Time в сообщении #563700 писал(а):

Вводя на плоскости двойной переменной или в псевдоевклидовом четырехмерном пространстве мнимое время (на Вашем языке - это вопрос выбора обозначений), формально мы действительно получаем переход всех неудобных для осознания гиперболических свойств в тривиальные евклидовы факты.

Бред какой. Вы отличаете выбор базиса в векторном пространстве от "формального введения мнимого времени"?

Time в сообщении #563700 писал(а):

Чего же тогда Вы столько спорили, что свойства плоскости двойной переменной чем-то принципиально отличаются от свойств комплексной плоскости? переобозначили мнимые единицы - и все дела!

Выбором базиса этого не добиться. Тот факт, что в двойных числах существует базис, в котором умножение диагонально, а в комплексных нет, --- не скроешь.

Time в сообщении #563700 писал(а):

Тогда примените чисто формально формулу (28) или (29) не к проcтранству бикомплексным чисел, а к их подпространству - к плоскости двойной переменной, потом сделайте "нужный" выбор обозначений и в результате имеем "тривиальный" факт. На плоскости двойной переменной, оказывается, "работает" стандартная интегральная формула Коши!

Выбор обозначений, упомянутый мной ранее, сводился к выбору базиса.

Time в сообщении #563700 писал(а):

Вы, по-моему, до сих пор не поняли, что подпространствами бикомплексных чисел являются не только комплексные плоскости, но и плоскости двойной переменной.

Да, но умножение в алгебре $H_n(\mathbb C)$ и интегрирование по контуру диагонализуется только в изотропном базисе. Без диагонализации ничего не получится.

Итак. Я утверждаю, что Ваш результат, записанный в изотропном базисе, является трививальным следствием классической формулы Коши. $2^n$ возможных вариантов получаются, потому что есть $2^n$ способов выбрать ориентации контуров. Можете переписывать его в каком угодно базисе, менее тривиальным он от этого не станет. Переход от одной ориентации к другой, таки да, можно записать как умножение на последовательность из $+1$ и $-1$, и эта последовательность является суммой делителей нуля (как и любой элемент $\mathbb C^n$).

(Оффтоп)

Time в сообщении #563700 писал(а):

Не спортивно.. В конце концов, мне простительно что-то не знать или не понимать там, где не являюсь специалистом, а вот Вам не соориентироваться в области профессиональной подготовки, все равно что расписаться в профнепригодности..

С таким уровнем амбиций еще вопрос, простительно или нет. Но вопрос не математический.

Где это я расписался в профнепригодности? И, кстати, где это я открыто заявлял, что являюсь математиком? Я пользователь форума.

[Time]

g______d в сообщении #563790 писал(а):

Бред какой. Вы отличаете выбор базиса в векторном пространстве от "формального введения мнимого времени"?

Так Вы утверждаете, что от формул (26-27) к формулам (28-29) в пространстве бикомплексных чисел можно перейти заменой базисной четверки векторов?
Это категорически неверное понимание смысла данных формул.

Цитата:

Выбором базиса этого не добиться. Тот факт, что в двойных числах существует базис, в котором умножение диагонально, а в комплексных нет, --- не скроешь.

Так выбором базиса точно так же невозможно при фиксированном контуре превратить форулы Коши вида (26-27) в формулы вида (28-29). То, какой из двух вариантов формулы Коши (с эллиптическими единицами или с делителями нуля) получается в пространстве бикомплексных чисел - целиком зависит исключительно от выбора замкнутого контура, а не конкретного базиса. Выбор базиса может лишь незначительно изменить вид множителей в формуле Коши, но изменить тип (делитель нуля превратить в неделитель нуля) таким образом невозможно.

Цитата:

Выбор обозначений, упомянутый мной ранее, сводился к выбору базиса.

Предположение, что выбором базиса можно при фиксированном контуре поменять тип формул Коши, еще менее обоснованное, чем замена вещественной координаты в пространстве двойных чисел на эллиптически мнимую величину.

Цитата:

Да, но умножение в алгебре $H_n(\mathbb C)$ и интегрирование по контуру диагонализуется только в изотропном базисе. Без диагонализации ничего не получится.

Так ведь у нас получилось! Мы работали совсем не в изотропном базисе и никакая диагонализация при этом не использовалась.
Я, кажется, понял причину Вашего непонимания как статьи, так и моих утверждений тут. Правильно ли я понимаю, что Вы контур проводите, либо в двумерном пространстве одной комплексной компоненты, либо в пространстве другой? Причем он целиком лежит в этих изотропных двумерных подпространствах? И произвольные ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ замкнутые контуры в пространстве бикомплексных чисел Вы даже и не думали представлять? И "ортогональный" базис пространства бикомплексных чисел Вы, что назвается, "ни сном ни духом"?
Если так, попробуйте вчитаться в то, что я напишу ниже.
Приведенный в статье пример пространства бикомплексных чисел с четырьмя вариантами формул (26-29) справедлив для произвольных четырехмерных замкнутых контуров. Более того, ни одна точка такого контура не должна даже касаться ни одной из двух изотропных плоскостей, в которых Вы, похоже, думали, что мы строим свои контуры. "Наши" замкнутые контуры не плоские! Они могут идти хоть винтом, хоть восьмерками и в четырех измерениях.. Мы с самого начала, похоже, говорили о разных предметах.
Еще один момент. Сами формулы (26-29) получены не в изотропном, а в финслерово "ортономированном" базисе. Таблица Кэли для этого базиса имеет вид (23). Вы же откуда-то взяли, что формулы (26-29) соответствуют изотропному базису и переходы от одного базиса к другому, если и делали, то оставляя все четыре базисых вектора изотропными. Это не правильное понимание смысла и главной идеи статьи о поличисловых аналогах формулы Коши.

Цитата:

Итак. Я утверждаю, что Ваш результат, записанный в изотропном базисе, является трививальным следствием классической формулы Коши. $2^n$ возможных вариантов получаются, потому что есть $2^n$ способов выбрать ориентации контуров. Можете переписывать его в каком угодно базисе, менее тривиальным он от этого не станет. Переход от одной ориентации к другой, таки да, можно записать как умножение на последовательность из $+1$ и $-1$, и эта последовательность является суммой делителей нуля (как и любой элемент $\mathbb C^n$).

Я предлагаю Вам еще раз и очень внимательно перечитать эту статью. Особое внимание, пожалуйста, обратите, на то, что замкнутые контуры строятся не в плоскостях, причем изотропных, а в четырехмерии и, наоборот, нигде не касаются ни одной точки изотропных подпространств. Боюсь, что Вам для такого прочтения придется познакомиться с еще целым рядом предыдущих статей, в которых, в частности, вводятся экспоненциальные формы представления невырожденных поличисел и другие их особенности. Ваша ошибка, возможно, в том, что Вы за изотропным базисом, в котором хорошо видны две комплексные алгебры, не увидели находящегося между ними четырехмерного пространства с финслеровой метрикой. Впрочем, не Вы один делаете такую ошибку, но в случае с Вами мне казалось, что Вы давно миновали этап "въезжания" в тему..

[g______d]

Time в сообщении #563830 писал(а):

Так ведь у нас получилось! Мы работали совсем не в изотропном базисе и никакая диагонализация при этом не использовалась.
Я, кажется, понял причину Вашего непонимания как статьи, так и моих утверждений тут. Правильно ли я понимаю, что Вы контур проводите, либо в двумерном пространстве одной комплексной компоненты, либо в пространстве другой? Причем он целиком лежит в этих изотропных двумерных подпространствах?

Контур в $\mathbb C^2$ --- это отображение отрезка $[0;T]$ в $\mathbb C^2$. Он задается парой функций $(z_1(t),z_2(t))$. Получаем, что это 2 контура в $\mathbb C$. Один задается функцией $z_1(t)$, второй функцией $z_2(t)$. Что отсюда неверно?

-- 25.04.2012, 19:06 --

Интегрирование по этому контуру производится точно так же: в каждой компоненте получается интеграл по своему контуру. Мы их рассматриваем одновременно, но вычислять можно по отдельности.

-- 25.04.2012, 19:15 --

Голоморфная функция в $\mathbb C^2$ устроена как $f(z_1,z_2)=(f_1(z_1),f_2(z_2))$. Соответственно, интеграл
по контуру $C$ будет выглядеть как $(\int\limits_{C_1} f(z_1)dz_1,\int\limits_{C_2} f(z_2)dz_2)$, где $C=C_1\times C_2$ --- контур в $\mathbb C^2$. Изначальный интеграл был $f\cdot dZ$, где $f=(f_1,f_2)$, $dZ=(dz_1,dz_2)$, а умножение $f\cdot dZ$ нужно рассматривать как умножение в алгебре $\mathbb C^2$.

[Time]

g______d в сообщении #563832 писал(а):

Time в сообщении #563830 писал(а):

Так ведь у нас получилось! Мы работали совсем не в изотропном базисе и никакая диагонализация при этом не использовалась.
Я, кажется, понял причину Вашего непонимания как статьи, так и моих утверждений тут. Правильно ли я понимаю, что Вы контур проводите, либо в двумерном пространстве одной комплексной компоненты, либо в пространстве другой? Причем он целиком лежит в этих изотропных двумерных подпространствах?

Контур в $\mathbb C^2$ --- это отображение отрезка $[0;T]$ в $\mathbb C^2$. Он задается парой функций $(z_1(t),z_2(t))$. Получаем, что это 2 контура в $\mathbb C$. Один задается функцией $z_1(t)$, второй функцией $z_2(t)$. Что отсюда неверно?

Вы, по сути, заменили сам непрерывный четырехмерный замкнутый контур на две его проекции на пару изотропных плоскостей и свели все к двум формулам Коши на паре этих изотропных плоскостей. Мы же решали совсем другую задачу. А именно, рассматривали четырехмерные замкнутые кривые. Результат нами получен именно для них. Причем совсем не в изотропном базисе.

[g______d]

Time в сообщении #563837 писал(а):

Вы, по сути, заменили сам непрерывный четырехмерный замкнутый контур на две его проекции на пару изотропных плоскостей и свели все к двум формулам Коши на паре этих изотропных плоскостей. Мы же решали совсем другую задачу. А именно, рассматривали четырехмерные замкнутые кривые. Результат нами получен именно для них. Причем совсем не в изотропном базисе.

Я еще и объяснил, почему изначальный интеграл из вашей статьи по любому контуру в $\mathbb C^n$ сводится к $n$ интегралам Коши. И действительно получается ваш результат. Я не исключаю, что Вы доказали его другим методом (или думаете, что доказали --- к математике там тоже можно придраться). Но, тем не менее, тот же изначально интеграл вычисляется тривиально более простым способом, и получается тот же ответ. На самом деле если у вас ответ не такой с точностью до замены базиса, то я уверен, что у вас ошибка.

-- 25.04.2012, 19:31 --

Мы решали одну и ту же задачу --- вычислить интеграл. Эта задача тривиальна.

[g______d]

Я, кстати, хотел бы уточнить. Если дан контур в $\mathbb C^n$, то он на самом деле однозначно определяет направление обхода в каждом из $\mathbb C$. Поэтому никаких $2^n$ формул Коши здесь нет, есть одна, именно для этого контура. Можно говорить, что их $2^n$ в том смысле, что выполняется один из $2^n$ вариантов выбора знака, и мы заранее не знаем, какой. Но тогда, если дан произвольных контур, не пересекающий делители нуля, то его проекции на компоненты могут обходить полюс несколько раз, и даже могут ни одного раза. В обычной формуле Коши такой проблемы не возникает, потому что контур там предполагается несамопересекающимся. Проекция несамопересекающегося контура в $\mathbb C^n$ на компоненту может стать самопересекающейся.

Т. е. правильная версия формулы Коши в $\mathbb C^2$ --- это то, что интеграл по контуру равен $(2\pi i n_1,2\pi i n_2)\cdot f(z_0)$, где $n_1$ и $n_2$ --- целые числа, равные числу обходов вокруг полюса проекций контура на компоненты.

И действительно, для любых наперед заданных $n_1, n_2$ можно привести пример контура, у которого будут такие коэффициенты при формулах Коши.

Тем не менее, это тоже достаточно тривиально. В Вашем доказательстве, видимо, неявно используется условие на то, что каждая проекция обходит точку ровно один раз в том или другом направлении.

-- 25.04.2012, 21:10 --

Собственно, у Вас неточность, как мне кажется, в формуле (14). При полном обходе угол может меняться на любое кратное кратное $2\pi$.

Вы скажете, что контур $\Gamma_0$ можно был выбирать произвольно, и можно выбрать, чтобы он обходил точку один раз. На самом деле так нельзя: контур $\Gamma_0$ должен быть непрерывной деформацией контура $\Gamma$, а контуры с разными наборами $(n_1,n_2)$ нельзя продеформировать друг в друга. Т. е. в этом "модельном" контуре число обходов все равно должно быть таким же, как и у $\Gamma$.

[Time]

g______d в сообщении #563840 писал(а):

Я еще и объяснил, почему изначальный интеграл из вашей статьи по любому контуру в $\mathbb C^n$ сводится к $n$ интегралам Коши. И действительно получается ваш результат. Я не исключаю, что Вы доказали его другим методом (или думаете, что доказали --- к математике там тоже можно придраться). Но, тем не менее, тот же изначально интеграл вычисляется тривиально более простым способом, и получается тот же ответ. На самом деле если у вас ответ не такой с точностью до замены базиса, то я уверен, что у вас ошибка.

Давайте проверим эту уверенность. Но не Вашим методом, опирающимся на а'приорное "знание", что задача решается в одно действие и контур заданный двумя двумерными замкнутыми проекциями приводит к в точности такому же результату, что дает и фиксированный четырехмерный контур, а нашим более длинным, но последовательным обходом именно четырехмерного контура. В конце концов, на двумерных проекциях запросто могут быть самопересечения, которых нет в четырехмерии. Давайте зафиксируем в четырехмерии простой (но принципиально четырехмерный) контур, который приводит к формуле Коши вида (26-27). А затем покажите какой конкретно заменой базиса, тот же самый контур приведет к превращению формулы Коши в принципиально иной вид (28-29). Подозреваю, что если такой фокус и имеет место, то исключительно за счет Вашего "контрабандного" и тривиального приема в "доказательстве". Возможно, за счет неразличимости в проекциях контуров с четным и нечетным количеством самопересечений на этих самых проекциях. В любом случае такой, "натурный" эксперимент и именно нашим длинным путем, расставил бы все по своим местам. В частности, есть ли разница для бикомплексного пространства в задании замкнутого контура явно или в виде двух проекций с возможными самопересечениями.

Цитата:

Мы решали одну и ту же задачу --- вычислить интеграл. Эта задача тривиальна.

Есть еще одна причина подойти к вопросу эквивалентности нашего сложного и Вашего "простого" метода получения формул Коши в пространстве бикомплексных чисел. Она заключается в следующем наблюдении. Раз, как Вы утверждаете, получающиеся "4-мерным пространственным путем" формулы полностью эквивалентны в одном из случаев формуле Коши на проективной плоскости с метрикой комплексной переменной, значит, есть резоны предположить, что и второй необычный вид формулы Коши с делителями нуля так же следствие работы метода проекций, только в этом случае на плоскость двойных чисел. Где, как Вы выше утверждали аналога формулы Коши в принципе нет. А мы подозреваем, что есть и теперь даже явно предъявляем этот подозреваемый гипреболический вариант формулы Коши. Он в формулах вида: (28-29) с делителями нуля. Тем более что этот результат очень подозрительно похож на тот, что я получил из эвристических соображений с экспоненциальными формами представления двойных чисел. Таких совпадений не бывает. Вернее, крайне редко..

Давайте попробую заинтересовать Вас так. Если в результате предложенной мною проверки Вы убедитесь, что никакой заменой неизотропного базиса, в котором получены формулы (26-29) первая пара не превращается во вторую, значит, гипотеза о том, что вторая пара формул связана с аналогом формулы Коши на плоскости двойной переменной весьма и весьма резонна. Согласитесь, это был бы достойный и вряд ли тривиальный результат. На сколько я понял, существование гиперболического аналога формулы Коши лично для Вас было бы весьма убедительным аргументом в эквивалентности ТФКП и еще недостроенной ТФДП.

И еще. Вы считаете формулу Коши вида (28-29) тривиальным результатом. Значит, он уже был кем то наверняка получен и Вам не составит труда привести конкретную ссылку, где именно такой вид формулы Коши с делителями нуля уже фигурировал. Чем черт не шутит, может народ уже и формулу Коши не только для бикомплексных, но и для двойных чисел и именно в таком виде получил..

-- Ср апр 25, 2012 21:35:32 --

g______d в сообщении #563884 писал(а):

Я, кстати, хотел бы уточнить. Если дан контур в $\mathbb C^n$, то он на самом деле однозначно определяет направление обхода в каждом из $\mathbb C$. Поэтому никаких $2^n$ формул Коши здесь нет, есть одна, именно для этого контура.

Вот именно, для фиксированного контура и с фиксированным правилом его обхода формула Коши всегда одна и для бикомплексных чисел в "ортонормированном базисе" одна из четырех, перечисленных в формулах (26-29). Как раз этот факт я и имел ввиду, когда говорил, что такой результат при фиксированном контуре не изменить никакими изменениями в базисе.

Цитата:

Можно говорить, что их $2^n$ в том смысле, что выполняется один из $2^n$ вариантов выбора знака, и мы заранее не знаем, какой. Но тогда, если дан произвольных контур, не пересекающий делители нуля, то его проекции на компоненты могут обходить полюс несколько раз, и даже могут ни одного раза. В обычной формуле Коши такой проблемы не возникает, потому что контур там предполагается несамопересекающимся. Проекция несамопересекающегося контура в $\mathbb C^n$ на компоненту может стать самопересекающейся.

Выше я предположил возможность причин проблемы именно в кажущихся пересечениях на двумерных проекциях не самопересекающегося четырехмерного контура.

Цитата:

Т. е. правильная версия формулы Коши в $\mathbb C^2$ --- это то, что интеграл по контуру равен $(2\pi i n_1,2\pi i n_2)\cdot f(z_0)$, где $n_1$ и $n_2$ --- целые числа, равные числу обходов вокруг полюса проекций контура на компоненты.

Да, причем полагаю, много раз можно обходить точку не только евклидовыми полными оборотами, но и псевдоевклидовыми "полными оборотами", поэтому и в формулах с делителями нуля так же должна быть периодичность.

Цитата:

Тем не менее, это тоже достаточно тривиально. В Вашем доказательстве, видимо, неявно используется условие на то, что каждая проекция обходит точку ровно один раз в том или другом направлении.

Да.

Цитата:

Собственно, у Вас неточность, как мне кажется, в формуле (14). При полном обходе угол может меняться на любое кратное кратное $2\pi$.

Вы скажете, что контур $\Gamma_0$ можно был выбирать произвольно, и можно выбрать, чтобы он обходил точку один раз. На самом деле так нельзя: контур $\Gamma_0$ должен быть непрерывной деформацией контура $\Gamma$, а контуры с разными наборами $(n_1,n_2)$ нельзя продеформировать друг в друга. Т. е. в этом "модельном" контуре число обходов все равно должно быть таким же, как и у $\Gamma$.

Так я и против этого и не возражаю (не знаю, как соавтор), более того, добавил бы еще периодичность "намотки полных оборотов" еще и псевдоевклидова типа..

[g______d]

Time в сообщении #563897 писал(а):

В любом случае такой, "натурный" эксперимент и именно нашим длинным путем, расставил бы все по своим местам. В частности, есть ли разница для бикомплексного пространства в задании замкнутого контура явно или в виде двух проекций с возможными самопересечениями.

Я отвечу чуть позже, а пока прочитайте мое следующее сообщение --- самопересечения на проекциях, в принципе, мешают и Вам.

Time в сообщении #563897 писал(а):

А мы подозреваем, что есть и теперь даже явно предъявляем этот подозреваемый гипреболический вариант формулы Коши. Он в формулах вида: (28-29) с делителями нуля.

Я думал, что мы договорились, что все вещественные компоненты просто умножаются на ноль, и это видно просто из изначального интеграла.

Time в сообщении #563897 писал(а):

И еще. Вы считаете формулу Коши вида (28-29) тривиальным результатом. Значит, он уже был кем то наверняка получен и Вам не составит труда привести конкретную ссылку, где именно такой вид формулы Коши с делителями нуля уже фигурировал. Чем черт не шутит, может народ уже и формулу Коши не только для бикомплексных, но и для двойных чисел и именно в таком виде получил..

Если я его могу получить за 10 минут, то он тривиальный без всяких ссылок.

-- 25.04.2012, 21:40 --

Time в сообщении #563897 писал(а):

Да, причем полагаю, много раз можно обходить точку не только евклидовыми полными оборотами, но и псевдоевклидовыми "полными оборотами", поэтому и в формулах с делителями нуля так же должна быть периодичность.

Вроде бы мы выше выяснили, что вся псевдоевклидова часть при интегрировании просто дает 0 и всё. Я пока от своего вычисления не отказываюсь.

Проблема с самопересечениями только в том, что из-за них контур может несколько раз обойти точку. Как у Вас, так и у меня она решается введением числа обходов, который определяется контуром. С такой поправкой классическая формула Коши верна и для контуров с самопересечениями.

-- 25.04.2012, 21:44 --

Собственно, на самом деле, если выкинуть "гиперболические углы", то Вы по сути делаете то же, что и я. В каждом слагаемом формулы (13) Вы просто интегрируете угол по окружности в $\mathbb C$ и получаете $2\pi$. "Эллиптический угол" --- это параметризация контура внутри одной комплексной компоненты. Т. е. Вы тоже берете интеграл отдельно в каждой комплексной компоненте и пользуетесь тем же приемом, что и при доказательстве обычной формулы Коши.

[Time]

g______d в сообщении #563906 писал(а):

Я отвечу чуть позже, а пока прочитайте мое следующее сообщение --- самопересечения на проекциях, в принципе, мешают и Вам.

Я ответил в добавлении вверху..

Time в сообщении #563897 писал(а):

Я думал, что мы договорились, что все вещественные компоненты просто умножаются на ноль, и это видно просто из изначального интеграла.

Это мой фирменный стиль работы - никогда не забывать искать любые лазейки, даже если все все кругом и давно доказали, а я вроде бы еще и согласился..
Мы же сейчас о пространстве бикомплексных чисел говорим.Тут нет в изотропном базисе прямой суммы с вещественными компонентами.

Time в сообщении #563897 писал(а):

Если я его могу получить за 10 минут, то он тривиальный без всяких ссылок.

Если я Вам сформулирую четко определение третьего базового инварианта в пространстве тройных чисел (дополнительного к длине и углу), Вы его так же за 10 минут получите. Однако это не значит, что он тривиальный и для расставления приоритетов открытия не нужно обращаться к ссылкам. Так что, Вы уж постарайтесь найти ссылки.. Тем более, что без нас и наших формул (28-29) еще большой вопрос, что Вы бы в эту сторону вообще когда ни будь стали смотреть.
Мы с Вами сейчас находимся в той области математики, где вообще все просто, но вот впервые заметить эту простоту довольно сложно..
Кстати, Вы мне так ничего и не ответили по поводу третьего инварианта и преобразований, при которых он сохраняется. А ведь потом так же можете начать говорить, что все тривиально.. И будете, кстати, совершенно правы..

-- 25.04.2012, 21:40 --

Time в сообщении #563897 писал(а):

Вроде бы мы выше выяснили, что вся псевдоевклидова часть при интегрировании просто дает 0 и всё. Я пока от своего вычисления не отказываюсь.

Делитель нуля на столько близок по некоторым свойствам с самим нулем, что есть все основания не ограничиваться тривиальным нулевым вариантом. Особенно, если иметь ввиду, что мы для решения проблемы с задачами нерешаемыми в самих двойных числах разрешаем их комплексное расширение до бикомплексных. Это очень похоже на то, как было с нерешаемыми задачами в обычных действительных числах и то, как они элегантно разрешились при комплексном расширении.

Цитата:

Проблема с самопересечениями только в том, что из-за них контур может несколько раз обойти точку. Как у Вас, так и у меня она решается введением числа обходов, который определяется контуром. С такой поправкой классическая формула Коши верна и для контуров с самопересечениями.

Меня интересует натрная проверка Вашего утверждения с заменой базисов.. А там видно будет..

-- Ср апр 25, 2012 22:07:24 --

g______d в сообщении #563906 писал(а):

Собственно, на самом деле, если выкинуть "гиперболические углы", то Вы по сути делаете то же, что и я. В каждом слагаемом формулы (13) Вы просто интегрируете угол по окружности в $\mathbb C$ и получаете $2\pi$. "Эллиптический угол" --- это параметризация контура внутри одной комплексной компоненты. Т. е. Вы тоже берете интеграл отдельно в каждой комплексной компоненте и пользуетесь тем же приемом, что и при доказательстве обычной формулы Коши.

Это если действительно выкинуть гиперболические углы. Но мы их не выкидываем и в этом вся соль. Оперируя и эллиптичесими, и гиперболическими углами совместно мы и можем совершить непрерывный обход по замкнутому контуру в четырехмерном пространстве, никогда не попадая на делители нуля.
Думаю, что это обстоятельство поможет и с аналогом формулы Коши на самой двойной плоскости разобраться..

[g______d]

Time в сообщении #563918 писал(а):

Это если действительно выкинуть гиперболические углы. Но мы их не выкидываем и в этом вся соль. Оперируя и эллиптичесими, и гиперболическими углами совместно мы и можем совершить непрерывный обход по замкнутому контуру в четырехмерном пространстве, никогда не попадая на делители нуля.

Сейчас речь по-прежнему о $\mathbb C\oplus \mathbb C$ ? Так вроде здесь и без них можно.

[Time]

g______d в сообщении #563952 писал(а):

Сейчас речь по-прежнему о $\mathbb C\oplus \mathbb C$ ? Так вроде здесь и без них можно.

Да о $\mathbb C\oplus \mathbb C$

Можно, раз в этом пространстве, аж, четыре "ортогональные" неизотропные плоскости имеют метрику комплексной плоскости и только две - гиперболическую метрику. Но не нужно. Мы же говорим про произволные замкнутые контуры. Среди них могут (и на мой взгляд должны) найтись довольно интересные замкнутые контуры, например, такие, в которых контур почти полный оборот делает не покидая некой гиперболической плоскости и только "вплотную" приближаясь к делителям нуля "перепрыгивают" в четырехмерное пространство, огибают изотропную плоскость и возвращаются на первую гиперболическую плоскость. И так четыре раза, пока контур не вернется в точку, с которой начался.

[g______d]

Time в сообщении #563918 писал(а):

Меня интересует натрная проверка Вашего утверждения с заменой базисов.. А там видно будет..

Ну хорошо. Пусть $z_0=(z_{01},z_{02})$, $f(z)=(f_1(z_1),f_2(z_2))$, $dz=(dz_1,dz_2)$, $C(t)=(C_1(t),C_2(t))$ --- контур. Тогда

$$ \int\limits_C \frac{f(z)}{z_0-z}\cdot dz=\left(\int\limits_{C_1}\frac{f_1(z_1)}{z_{01}-z_1}dz_1,\int\limits_{C_2}\frac{f_2(z_2)}{z_{02}-z_2}dz_2\right)=(2\pi i n_1 f_1(z_{01}),2\pi i n_2 f_2(z_{02}))=2\pi i \cdot (n_1,n_2)\cdot f(z_0), $$

где $i=(i,i)$, как и в Ваших обозначениях. Если $(n_1,n_2)=n_1 e_1+n_2 e_3$, то (26) получается при $n_1=n_2=1$, (27) при $n_1=1$, $n_2=-1$, (28) при $n_1=1$, $n_2=0$, (29) при $n_1=0$, $n_2=1$.

-- 25.04.2012, 23:25 --

Возможно, Вы хотели рассмотреть $C\oplus C$ как произведение двух $H_2(\mathbb R)$ и по аналогии с разбиением в произведение двух $\mathbb C$ взять интеграл. Если так, то это пока только фантазии. Это произведение будет только как векторных пространств, но не как алгебр. Соответственно, интегрировать так просто не получится --- будут перекрестные члены. Кроме того, "модельный" контур придется уводить на бесконечность, все интегралы разойдутся, контур перестанет быть замкнутым, теорема Коши (на которой изначально все основано) перестанет быть применимой (деформировать контур на бесконечность, вообще говоря, нельзя). Теорему Вы из этого не сделаете.

[Time]

Что означают и откуда взялись $n_1$ и $n_2$?
Так же не понятно, откуда взялась эллиптически мнимая единица $i$ неизотропного базиса, когда используется логика изотропного?
Потом я же просил не в Вашей "проективной" методике проделать построения, а зафиксировав простейший замкнутый контур без проекций в самом четырехмерном пространстве, то есть действуя по нашему "длинному" варианту. Именно в таком подходе, для конкретного (а не общего вида) контура получить конкретную формулу (одну из (26-29)) и только потом, переходя от базиса с единицами $1, i, j, ij$ к любому другому, в котором окажется, что формула Коши изменила при этом свой вид.

-- Ср апр 25, 2012 23:45:50 --

g______d в сообщении #563975 писал(а):

Возможно, Вы хотели рассмотреть $C\oplus C$ как произведение двух $H_2(\mathbb R)$ и по аналогии с разбиением в произведение двух $\mathbb C$ взять интеграл.

Нет же. Я просто хочу, что бы Вы все построения по вычислению интегралов проделали не в базисе из изотропных векторов, а перейдя к финслерову аналогу ортонормированного базиса.

Цитата:

Соответственно, интегрировать так просто не получится --- будут перекрестные члены.

Экспоненциальная форма представления решает проблемы с перекресными членами.

Цитата:

Кроме того, "модельный" контур придется уводить на бесконечность, все интегралы разойдутся, контур перестанет быть замкнутым, теорема Коши (на которой изначально все основано) перестанет быть применимой (деформировать контур на бесконечность, вообще говоря, нельзя).

Тоже не верно. В четырехмерном пространстве изотропную плоскость можно обогнуть не уходя на бесконечность так же легко, как телеграфный столб в трехмерии.

Цитата:

Теорему Вы из этого не сделаете.

Я - нет, не сделаю. Но математик, думаю, может..

[g______d]

Time в сообщении #563990 писал(а):

Что означают и откуда взялись $n_1$ и $n_2$?
Так же не понятно, откуда взялась эллиптически мнимая единица $i$ неизотропного базиса, когда используется логика изотропного?

В чем проблема? Какое из равенств неверное? И какое из них не совпадает с соответствующей формулой?

Вот, например, у Вас же эллиптическая мнимая единица вводится как $e_2+e_4$, что соответствует паре $(i,i)$. Она и вылезает как общий множитель.

$n_1$ и $n_2$ параметризуют гомотопический класс контура. Конкретное определение было выше, но оно не привязано к проекции: просто неэквивалентных контуров в $\mathbb C^2$ ровно столько же, сколько пар $(n_1,n_2)$.

Я привел Вам интеграл в самом общем виде. В левой части --- исходный интеграл. В правой --- возможные ответы. При конкретных выборах $n_1$ и $n_2$ возникают такие же ответы, как у Вас в правых частях формул (26)--(29). При других $n_1,n_2$ --- не такие.

-- 25.04.2012, 23:53 --

Time в сообщении #563990 писал(а):

Нет же. Я просто хочу, что бы Вы все построения по вычислению интегралов проделали не в базисе из изотропных векторов, а перейдя финслерову аналогу ортонормированного базиса.

А чего ожидать? Другого ответа? Интеграл, вообще-то, объект инвариантный.

-- 25.04.2012, 23:56 --

g______d в сообщении #563998 писал(а):

Time в сообщении #563990 писал(а):

Нет же. Я просто хочу, что бы Вы все построения по вычислению интегралов проделали не в базисе из изотропных векторов, а перейдя финслерову аналогу ортонормированного базиса.

А чего ожидать? Другого ответа? Интеграл, вообще-то, объект инвариантный.

Я вычислил конечный ответ в изотропном базисе. И показал, как его преобразовать в Ваш. Вычислить интеграл в новом базисе --- все равно, что переписать ответ в новом базисе.

-- 25.04.2012, 23:59 --

Time в сообщении #563990 писал(а):

Именно в таком подходе, для конкретного (а не общего вида) контура получить конкретную формулу (одну из (26-29))

Достаточно выбрать любой конкретный контур, у которого числа $n_1,n_2$ соответствуют приведенным мной. Такой контур для любой пары $(n_1,n_2)$ всегда существует, и его можно выбрать несамопересекающимся в $\mathbb C^2$.

[Time]

На сколько я понимаю, в изотропном базисе, в котором только Вы и согласны пока проделывать все построения, мы имеем в обозначениях нашей с Гарасько статьи:

$$ \int\limits_C \frac{f(z)}{z_0-z}\cdot dz=\left(\int\limits_{C_1}\frac{f_1(z_1)}{z_{01}-z_1}dz_1,\int\limits_{C_2}\frac{f_2(z_2)}{z_{02}-z_2}dz_2\right)=(2\pi e_2 f_1(z_{01}),2\pi e_4 f_2(z_{02})) $$

Как от этого вида формулы Коши, переходом в новый базис, получить варианты (28-29)?