Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$

[xmaister]

Пусть $f:[a,b]\to [a,b]$- непрерывна. Сходится ли последовательность $x_{n+1}=f(x_n),x_0\in [a,b]$? Понятно, что $f$ имеет неподвижную точку, как это использовать нужно или не нужно?

[gris]

Посмотрите на вторую диагональ квадрата.

[xmaister]

gris, не понял. Что с ней не так?

[gris]

Она является графиком функции, которая удовлетворяет условиям задачи.

[xmaister]

gris
, спасибо. Понятно. А если добавить, что $f$- не убывающая?

[ewert]

xmaister в сообщении #563651 писал(а):

А если добавить, что $f$- не убывающая?

Тогда сходимость будет. Но не к каждой неподвижной точке.

[gris]

...

[xmaister]

Подскажите, как доказать сходимость?

[gris]

...

[ewert]

gris в сообщении #563654 писал(а):

Для любой неподвижной точки есть последовательность, которая к ней сходится.

Для любой -- только стационарная.

[gris]

А может сходиться и к нестационарной точке. Если не требовать непрерывности. Может быть задача была в том, что описать все такие точки? Неподвижных точек может быть бесконечно много.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #563653 писал(а):

Тогда сходимость будет. Но не к каждой неподвижной точке.

Почему не к каждой? Вроде ТС никаких ограничений на выбор $x_0$ не накладывает. И вот если взять за $x_0$ неподвижную точку, то последовательность, сабо сомой, к ней и будет сходиться

[xmaister]

gris в сообщении #563660 писал(а):

Покажите, что последовательность обладает некоторыми свойствами, достаточными для её сходимости (конечной).

Туплю. Она ограничена, но может быть не монотонной. Или это не то?

[gris]

я там кажется немного перепутал. С чего-то решил, что функция неубывает и выпукла вверх. Тогда последовательность неубывающая, да.
И стёр от греха

[xmaister]

Тогда как же эту штуку доказать?