охлаждение с конвекцией

[AndreyL]

Как правильно организовать решение задачи Стефана на сетке?
Решается задачка об охлаждении (промерзании) слоя жидкости, с интенсивным конвективным перемешиванием. Решение в одномерном виде поперек слоя, слой бесконечен в двух направлениях, изначально определенной мощности. Уравнение теплопереноса

$$c\left( T \right){\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[k\left( T \right){\frac {\partial T}{\partial x}}\right]$$

Жидкость изначально перегрета, т.е. ее температура значительно выше температуры кристаллизации. По идее, интенсивное конвективное перемешивание в жидкой части должно приводить к бесконечному росту коэффициента теплопроводности $k\left( T > T_L\right)=\infty$. Но это ведет к бесконечному увеличению температуропроводности, и весь слой жидкости замерзает мгновенно, а это не соответствует действительности, поскольку на то, чтобы жидкость остыла до температуры кристаллизации требуется некоторое время. Можно было бы разделить задачу на три части, но в процессе возможно как плавление стенок, так и промерзание жидкости внутри слоя, поэтому границы оказываются подвижными. Кроме того, конвекция интенсивна только в центре камеры, у стенок скорости нулевые. К тому же, в перспективе жидкость будет замерзать не при заданной температуре, а в диапазоне температур.
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться, наверняка есть примеры подобных решений.

[V.V.]

А что говорят по этому поводу Самарский и Вабищевич в книге "Вычислительная теплопередача"?

А еще есть такая книжка: А.Р. Павлов "Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при фазовых переходах "
http://rrc.ysu.ru/?id=resurse&n=9&name= ... D%EE%F1&p=

[GraNiNi]

AndreyL в сообщении #263952 писал(а):

По идее, интенсивное конвективное перемешивание в жидкой части должно приводить к бесконечному росту коэффициента теплопроводности

Ложное предположение.

Коэффициент теплопроводности любого материала и жидкости в частности - величина постоянная (почти).
От перемешивания зависит коэффициент теплоотдачи, и то, он он ме может превысить определенной величины.

[AndreyL]

GraNiNi в сообщении #264594 писал(а):

Коэффициент теплопроводности любого материала и жидкости в частности - величина постоянная (почти).
От перемешивания зависит коэффициент теплоотдачи, и то, он не может превысить определенной величины.

Полностью с Вами согласен. Только не понятно, как теперь будет выглядеть сквозная расчетная схема. Сейчас так:

$$\tilde c\left( T \right){\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[\tilde k\left( T \right){\frac {\partial T}{\partial x}}\right]$$

$$\tilde c\left( T \right)= \left\{ \begin{array}{l} c_S \text{ если } T \leqslant T_S,\\ \frac{\left(c_L-c_S\right) T+ c_S T_L-c_L T_S+Q}{T_L - T_S}}\text{ если } T_S <T < T_L,\\ c_L \text{ если } T_L\leqslant T. \end{array} \right.$$

$$\tilde k\left( T \right)= \left\{ \begin{array}{l} k_S \text{ если } T \leqslant T_S,\\ \frac{\left(k_L-k_S\right) T+ k_S T_L-k_L T_S}{T_L - T_S}}\text{ если } T_S <T < T_L,\\ \infty \text { если } T_L\leqslant T. \end{array} \right.$$

где $T_L$ - температура начала кристаллизации (ликвидуса), $T_S$ - температура начала плавления (солидуса), т.е. плавление происходит в диапазоне от $T_S$ до $T_L$, $c_S, c_L, k_S, k_L$ - теплоемкости и теплопроводности твердого и жидкости, $Q$ - теплота плавления. Как изменятся эти уравнения, и можно ли вообще реализовать сквозную расчетную схему. Как ввести в эту систему уравнение теплоотдачи?

[AndreyL]

Подниму тему - в процессе работы опять вернулись к этой задачке. Прочитал А.Р. Павлова - к сожалению похожих задач не нашел, может как то не так понимаю.

Еще раз попробую на пальцах описать задачу. Есть слой расплава, бесконечный в двух направлениях, изначально заданной толщины. Этот слой сильно перегрет, и на старте находится в относительно холодной среде. В первые моменты времени плавятся стенки и толщина слоя расплава увеличивается. Плавление происходит не при заданной температуре, а в диапазоне температур, обозначим их $T_{liq}$ - температура, выше которой только расплав, и $T_{sol}$ - температура, ниже которой все твердое, между этими температурами смесь твердого и расплава. По условию задачи в чистом расплаве (т.е. при температуре выше $T_{liq}$) происходит интенсивная конвекция, настолько интенсивная, что весь слой находится при одной температуре, градиент температуры в расплавленном слое нулевой. При температуре ниже $T_{liq}$ конвекция полностью блокируется, и теплопередача происходит в неподвижной среде. По мере охлаждения всей системы температура в конвектирующем (полностью расплавленном) слое достигает температуры $T_{liq}$ и начинается его промерзание, т.е. толщина слоя чистого расплава уменьшается.

Вопросы: возможна ли сквозная схема расчета для всего диапазона пространства и времени? Если да, то как она будет выглядеть?
Если нет, то как лучше разбить всю задачу на подзадачи?

[AndreyL]

Основную проблему составляет этап, когда температура слоя чистого расплава не опустилась до $T_{liq}$. Расплав, получающийся при плавлении стенки при температуре $T_{liq}$ тут же смешивается с остальным расплавом (находящимся при температуре выше $T_{liq}$), тем самым самым снижая его температуру. Подскажите, пожалуйста, где посмотреть решение похожих задачек?