Дискретный и существенный спектр

[purser]

Вычислить дискретный и существенный спектр оператора $(Ax)_n= x_{n-1}+x_{n+1}$, где $x= \{x_n\}_{n \in \mathbb Z}$ в гильбертовом пространстве $l_2(\mathbb Z)$
По определению $\sigma_{disc}(A)=\{\lambda \in \sigma(A) | A_{\lambda} \in \Phi(l_2, l_2) \}$,
$\sigma_{ess}(A)=\{\lambda \in \sigma(A) | A_{\lambda} \notin \Phi(l_2, l_2) \}, $
$\Phi(l_2,l_2)=\{A:l_2 \mapsto l_2 | dim(\ker(A)) < \infty \}$
Я так понимаю, нужно отыскать такие $\lambda$, чтобы оператор $A_\lambda$ имел в ядре только последовательности с конечным числом ненулевых элементов. Подскажите, пожалуйста, куда рыть...Искать собственные числа здесь я думаю не нужно.

[ewert]

Дискретный спектр -- это множество всех изолированных (т.е. отделённых от остального спектра) собственных чисел конечной кратности. Очевидно, что его здесь нет, ибо вообще нет и не может быть собственных чисел: попытка найти собственное число приводит к разностному уравнению второго порядка, однако ни одно решение никакого линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами не принадлежит $l_2(\mathbb Z)$.

Зато вполне есть непрерывный спектр (он же вообще спектр): $\sigma(A)=[-2;2]$.

[Oleg Zubelevich]

$x(t)=\sum_n x_ne^{int},\quad (Ax)(t)=2(\cos t) x(t)$

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #563280 писал(а):

$x(t)=\sum x_ne^{int}$

Что это?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #563279 писал(а):

ни одно решение никакого линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами не принадлежит $l_2(\mathbb Z)$.

вот уравнение $x_{n-1}+x_{n+1}=x_n$ имеет решение $x_n\equiv 0$

-- Вт апр 24, 2012 08:47:54 --

ewert в сообщении #563283 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #563280 писал(а):

$x(t)=\sum x_ne^{int}$

Что это?

а что неясно ?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #563284 писал(а):

вот уравнение $x_{n-1}+x_{n+1}=x_n$ имеет решение $x_n\equiv 0$

Да. Но этот вектор по определению не является собственным.

Oleg Zubelevich в сообщении #563284 писал(а):

а что неясно ?

Ничего не ясно.

[Oleg Zubelevich]

всякую последовательность из $l_2(\mathbb{Z})$ можно считать набором коэффициентов Фурье некоторой функции из $L^2(0,2\pi)$ (банальная изометрия между $L^2(0,2\pi)$ и $l_2(\mathbb{Z})$). Тогда оператор $A$ переписывается тривиальным образом см выше

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #563288 писал(а):

очевидно всякую последовательность из $l_2(\mathbb{Z})$ можно считать набором коэффициентов Фурье некоторой функции из $L^2(0,2\pi)$.

Допустим.

Oleg Zubelevich в сообщении #563288 писал(а):

Тогда оператор $A$ переписывается тривиальным образом

Какой такой оператор $A$?

[purser]

ewert в сообщении #563279 писал(а):

...попытка найти собственное число приводит к разностному уравнению второго порядка, однако ни одно решение никакого линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами не принадлежит $l_2(\mathbb Z)$.

А можно поподробнее об этом. Я вот уже видел это Ваше утверждение в похожем примере, но пока мне не очевидно((

Решая разностное уравнение пришел к такому ответу:
$x_n=c_1(\frac{\lambda+\sqrt{\lambda^2-4}}{2})^n$ или $x_n=c_1(\frac{\lambda-\sqrt{\lambda^2-4}}{2})^n$
Как обосновать, в частности например, что эти решения не подходят ?

[ewert]

purser в сообщении #563291 писал(а):

Как обосновать, в частности например, что эти решения не подходят ?

Они попросту не стремятся к нулю на бесконечности (и никакая их линейная комбинация тоже). Тем более не входят в эль-два.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #563290 писал(а):

Какой такой оператор $A$?

см. стартовый пост

между $l_2(\mathbb{Z})$ и $L^2(0,2\pi)$ существует изометрия (какая именно, уже написал) обозначим ее $F:l_2(\mathbb{Z})\to L^2(0,2\pi)$. Рассмотрим оператор $\tilde A:L^2(0,2\pi)\to L^2(0,2\pi),\quad \tilde A=FAF^{-1}$. Оператор $\tilde A$ это просто умножение на $2\cos t$.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #563295 писал(а):

Рассмотрим оператор $\tilde A:L^2(0,2\pi)\to L^2(0,2\pi),\quad \tilde A=FAF^{-1}$.

Вот так с самого начала и следовало писать. Уж больно Вы скрытны.

Oleg Zubelevich в сообщении #563295 писал(а):

существует изометрия (какая именно, уже написал)

Ну не буквально изометрия, между кстати.

[Oleg Zubelevich]

Вы это про два пи штоли или сколько там?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #563298 писал(а):

Вы это про два пи штоли или сколько там?

Ну да. Хотя это, конечно, семечки; а вот то, что исходный пост совершенно невозможно было читать, хотя бы из-за формальной неверности -- уже нет.

[purser]

ewert в сообщении #563293 писал(а):

Они попросту не стремятся к нулю на бесконечности (и никакая их линейная комбинация тоже). Тем более не входят в эль-два.

Вроде к примеру для $\lambda=100$
$x_n=c_1(\frac{\lambda-\sqrt{\lambda^2-4}}{2})^n$ убывает к нулю вполне себе с ростом $n$