2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дискретный и существенный спектр
Сообщение23.04.2012, 22:11 


26/01/11
66
Вычислить дискретный и существенный спектр оператора $(Ax)_n= x_{n-1}+x_{n+1}$, где $x= \{x_n\}_{n \in \mathbb Z}$ в гильбертовом пространстве $l_2(\mathbb Z)$
По определению $\sigma_{disc}(A)=\{\lambda \in \sigma(A) | A_{\lambda} \in \Phi(l_2, l_2) \}$,
$\sigma_{ess}(A)=\{\lambda \in \sigma(A) | A_{\lambda} \notin \Phi(l_2, l_2) \}, $
$\Phi(l_2,l_2)=\{A:l_2 \mapsto l_2 | dim(\ker(A)) < \infty  \}$
Я так понимаю, нужно отыскать такие $\lambda$, чтобы оператор $A_\lambda$ имел в ядре только последовательности с конечным числом ненулевых элементов. Подскажите, пожалуйста, куда рыть...Искать собственные числа здесь я думаю не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 08:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Дискретный спектр -- это множество всех изолированных (т.е. отделённых от остального спектра) собственных чисел конечной кратности. Очевидно, что его здесь нет, ибо вообще нет и не может быть собственных чисел: попытка найти собственное число приводит к разностному уравнению второго порядка, однако ни одно решение никакого линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами не принадлежит $l_2(\mathbb Z)$.

Зато вполне есть непрерывный спектр (он же вообще спектр): $\sigma(A)=[-2;2]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 08:36 


10/02/11
6786
$x(t)=\sum_n x_ne^{int},\quad (Ax)(t)=2(\cos t) x(t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 08:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #563280 писал(а):
$x(t)=\sum x_ne^{int}$

Что это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 08:46 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #563279 писал(а):
ни одно решение никакого линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами не принадлежит $l_2(\mathbb Z)$.

вот уравнение $x_{n-1}+x_{n+1}=x_n$ имеет решение $x_n\equiv 0$

-- Вт апр 24, 2012 08:47:54 --

ewert в сообщении #563283 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #563280 писал(а):
$x(t)=\sum x_ne^{int}$

Что это?

а что неясно ? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 08:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #563284 писал(а):
вот уравнение $x_{n-1}+x_{n+1}=x_n$ имеет решение $x_n\equiv 0$

Да. Но этот вектор по определению не является собственным.

Oleg Zubelevich в сообщении #563284 писал(а):
а что неясно ? :D

Ничего не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:04 


10/02/11
6786
всякую последовательность из $l_2(\mathbb{Z})$ можно считать набором коэффициентов Фурье некоторой функции из $L^2(0,2\pi)$ (банальная изометрия между $L^2(0,2\pi)$ и $l_2(\mathbb{Z})$). Тогда оператор $A$ переписывается тривиальным образом см выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #563288 писал(а):
очевидно всякую последовательность из $l_2(\mathbb{Z})$ можно считать набором коэффициентов Фурье некоторой функции из $L^2(0,2\pi)$.

Допустим.

Oleg Zubelevich в сообщении #563288 писал(а):
Тогда оператор $A$ переписывается тривиальным образом

Какой такой оператор $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:09 


26/01/11
66
ewert в сообщении #563279 писал(а):
...попытка найти собственное число приводит к разностному уравнению второго порядка, однако ни одно решение никакого линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами не принадлежит $l_2(\mathbb Z)$.

А можно поподробнее об этом. Я вот уже видел это Ваше утверждение в похожем примере, но пока мне не очевидно((

Решая разностное уравнение пришел к такому ответу:
$x_n=c_1(\frac{\lambda+\sqrt{\lambda^2-4}}{2})^n$ или $x_n=c_1(\frac{\lambda-\sqrt{\lambda^2-4}}{2})^n$
Как обосновать, в частности например, что эти решения не подходят ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
purser в сообщении #563291 писал(а):
Как обосновать, в частности например, что эти решения не подходят ?

Они попросту не стремятся к нулю на бесконечности (и никакая их линейная комбинация тоже). Тем более не входят в эль-два.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:14 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #563290 писал(а):
Какой такой оператор $A$?

см. стартовый пост

между $l_2(\mathbb{Z})$ и $L^2(0,2\pi)$ существует изометрия (какая именно, уже написал) обозначим ее $F:l_2(\mathbb{Z})\to L^2(0,2\pi)$. Рассмотрим оператор $\tilde A:L^2(0,2\pi)\to L^2(0,2\pi),\quad \tilde A=FAF^{-1}$. Оператор $\tilde A$ это просто умножение на $2\cos t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #563295 писал(а):
Рассмотрим оператор $\tilde A:L^2(0,2\pi)\to L^2(0,2\pi),\quad \tilde A=FAF^{-1}$.

Вот так с самого начала и следовало писать. Уж больно Вы скрытны.

Oleg Zubelevich в сообщении #563295 писал(а):
существует изометрия (какая именно, уже написал)

Ну не буквально изометрия, между кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:19 


10/02/11
6786
Вы это про два пи штоли или сколько там?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #563298 писал(а):
Вы это про два пи штоли или сколько там?

Ну да. Хотя это, конечно, семечки; а вот то, что исходный пост совершенно невозможно было читать, хотя бы из-за формальной неверности -- уже нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретный и существенный спектр
Сообщение24.04.2012, 09:29 


26/01/11
66
ewert в сообщении #563293 писал(а):
Они попросту не стремятся к нулю на бесконечности (и никакая их линейная комбинация тоже). Тем более не входят в эль-два.

Вроде к примеру для $\lambda=100$
$x_n=c_1(\frac{\lambda-\sqrt{\lambda^2-4}}{2})^n$ убывает к нулю вполне себе с ростом $n$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group