"Лишняя" аксиома линейного пространства

[Padawan]

А разве нейтральный элемент -- это не такой элемент, что $a+0=0+a=a$ ? А противоположный $a+(-a)=(-a)+a=0$ ?

[lemanat]

UPD (с учетом дополнения от AV_77).
Итак, если я наконец-то учла всё, получается следующая картина:

Избыточной можно считать аксиому коммутативности сложения: $a+b=b+a$.

Доказательство:
Элемент $a+b$ по определению принадлежит линейному пространству L. Добавим к нему справа такой же элемент: $a+b+a+b=1a+1b+1a+1b=1(a+b)+1(a+b)=(1+1)(a+b)=(1+1)a+(1+1)b=1a+1a+1b+1b=a+a+b+b$.

Пусть постулированы правые нейтральный и обратный элементы (для любых элементов линейного пространства L). Докажем, что они являются также левыми:
Пусть $x$ - обратный к $a^{-1}: a^{-1} + x = 0$ (x - правый обратный);
Тогда: $a = a + 0 = a + a^{-1} + x = 0 + x \Rightarrow a^{-1} + a = a^{-1} + 0 + x = a^{-1} + x = 0$ - для обратного элемента.
Для нейтрального элемента:
$0 + a = (a + a^{-1}) + a = a + (a^{-1} + a) = a + 0 = a$.


$a+b+a+b=a+a+b+b \Rightarrow (-a)+a+b+a+b+(-b)=(-a)+a+a+b+b+(-b) \Rightarrow$
$\Rightarrow 0+b+a+0=0+a+b+0 \Rightarrow b+a=a+b$ - коммутативность сложения доказана.

Пожалуйста, проверьте свежим взглядом строгость рассуждений.

[AV_77]

Забыли доказать, что $0$ будет левым нейтральным:
$0 + a = (a + a^{-1}) + a = a + (a^{-1} + a) = a + 0 = a$.

[Maslov]

Padawan в сообщении #563174 писал(а):

А разве нейтральный элемент -- это не такой элемент, что $a+0=0+a=a$ ? А противоположный $a+(-a)=(-a)+a=0$ ?

Группу кто как определяет.

Ильин, Позняк ("Линейная алгебра"), например, включают в определение группы только требование наличие правосторонних нейтрального и обратного элементов, остальные свойства доказывают.

Кострикин ("Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры") дает определение группы с двусторонними нейтральным и обратным.