"Лишняя" аксиома линейного пространства

[AV_77]

Maslov в сообщении #563104 писал(а):

Только имейте в виду, ТС, задавая аксиомы, постулировал существование левого нейтрального и правого обратного элементов

Да уж, здесь ТС сильно все ограничил, не сразу это заметил. Если постулировать двусторонний нуль и двусторонние противоположные, то коммутативность сложения можно убрать.

[Maslov]

venco в сообщении #563099 писал(а):

Гонит он. Или нерюх.

P.Halmos в книжке "Finite-Dimensional Vector Spaces" пишет буквально следующее:

Цитата:

These axioms are not claimed to be logically independent; they are merely a convenient characterization of the objects we wish to study.

Но никаких подробностей не приводит

AV_77 в сообщении #563111 писал(а):

Да уж, здесь ТС сильно все ограничил, не сразу это заметил.

Так это стандартное определение. Обычно, правда, постулируются правый нейтральный и правый обратный или левый нейтральный и левый обратный.

[AV_77]

Maslov в сообщении #563114 писал(а):

Обычно, правда, постулируются правый нейтральный и правый обратный или левый нейтральный и левый обратный

Я про это и говорю. Если так, то по сложению будет группа и проблем никаких нет.

[Maslov]

Хорошо, давайте постулируем существование правого нейтрального и правого обратного. Другими словами, ВП -- аддитивная группа.

Тогда, как для любой группы, можно доказать, что правый обратный является также левым ($a + a^{-1} = a^{-1} + a = 0$), и то же самое справедливо для нейтральных элементов ($a + 0 = 0 + a = a$).

Можно в этом случае доказать коммутативность?

[lemanat]

AV_77, я думаю, что можно считать заданными "односторонние" нейтральный и обратный элементы, т.к. встречаются источники, где заданы, например, правые. (Пособие Бауманки, например - я проверила).

я поняла ход вашего рассуждения до момента:
$a+b+a+b=1 \cdot a+1 \cdot b +1 \cdot a + 1 \cdot b =1 \cdot (a+b) + 1 \cdot (a+b)=(a+b)(1+1)=a+a+b+b$
правильно ли поняла (по аксиомам попыталась расписать)?
а дальше? и можно ли так раскрывать последние скобки? UPD: про скобки - поняла, что можно, глупый был вопрос.

[venco]

Maslov в сообщении #563128 писал(а):

Хорошо, давайте постулируем существование правого нейтрального и правого обратного. Другими словами, ВП -- аддитивная группа.

Тогда, как для любой группы, можно доказать, что правый обратный является также левым ($a + a^{-1} = a^{-1} + a = 0$), и то же самое справедливо для нейтральных элементов ($a + 0 = 0 + a = a$).

Как это можно доказать без использования коммутативности?

[AV_77]

lemanat в сообщении #563130 писал(а):

$a+b+a+b=1 \cdot a+1 \cdot b +1 \cdot a + 1 \cdot b =1 \cdot (a+b) + 1 \cdot (a+b)=(a+b)(1+1)=a+a+b+b$
правильно ли поняла (по аксиомам попыталась расписать)?
а дальше? и можно ли так раскрывать последние скобки?

$a+a+b+b = 1a+1a+1b+1b = (1+1)a+(1+1)b = (1+1)(a+b) = 1(a+b) + 1(a+b) = a+b+a+b$
Скобки можно раскрывать, ведь дистрибутивность есть.
А потом, если ВП - группа по сложению, то прибавляем справа противоположный для $a$ и слева противоположный для $b$ получим $a+b=b+a$.

-- Пн апр 23, 2012 21:33:35 --

venco в сообщении #563136 писал(а):

Как это можно доказать без использования коммутативности?

У Ленга, например, можно посмотреть.

[Maslov]

venco в сообщении #563136 писал(а):

Как это можно доказать без использования коммутативности?

Пусть $x$ - обратный к $a^{-1}: a^{-1} + x = 0$
Тогда
$a = a + 0 = a + a^{-1} + x = 0 + x \Rightarrow a^{-1} + a = a^{-1} + 0 + x = a^{-1} + x = 0$

AV_77 в сообщении #563138 писал(а):

прибавляем справа противоположный для $a$ и слева противоположный для $b$ получим $a+b=b+a$.

И все-таки, можно подробнее? Как доказать $a + a + b + b = a + b + a + b \Rightarrow a + b = b + a$.

[AV_77]

Maslov в сообщении #563144 писал(а):

И все-таки, можно подробнее? Как доказать

С учетом группы по сложению (мы пока этот случай рассматриваем?):
$a + a + b + b = a + b + a + b \Rightarrow (-a) + a + a + b + b +(-b) = (-a) + a + b + a + b + (-b) \Rightarrow 0 + a + b + 0 = 0 + b + a + 0 \Rightarrow a + b = b + a$

[lemanat]

AV_77, вроде бы можно справа добавлять противоположные элементы (если постулированы правые), тогда, уже зная
$a+b+a+b=a+a+b+b$, получим

$a+b+a+b-a-b=a+a+b+b-a-b$;
$0+b+a+0=0+a+0+b$;
$b+a=a+b$
верно? не получается определения коммутативности через коммутативность?

[Maslov]

AV_77, получается, что так

-- Пн апр 23, 2012 21:50:44 --

lemanat, откуда у Вас минусы взялись? Что такое $a - b$?

[lemanat]

имеется в виду $a+(-a)$ и $b+(-b)$ - ошиблась, конечно.

[AV_77]

lemanat в сообщении #563148 писал(а):

AV_77, вроде бы можно справа добавлять противоположные элементы (если постулированы правые)

Если
1) $\forall a, b, c : (a + b) + c = a + (b + c)$
2) $\exists 0 : \forall a : a + 0 = a$
3) $\forall a : \exists a' : a + a' = 0$,
то одновременно $0 + a = a$ и $a' + a = 0$. Это не сложно доказывается.

[lemanat]

Цитата:

Это не сложно доказывается.

да, но ведь проще (причем в строгом смысле слова) добавить противоположные элементы справа? верность рассуждений не страдает?

[AV_77]

Если существуют левый нейтральный $0$ и правый обратный, то множество $\{ a + 0 \ | \ a \in V \}$ является группой относительно сложения (существует правый обратный, а $0$ будет правым нейтральным). Можно как-то с этим повозиться.

-- Пн апр 23, 2012 22:04:15 --

lemanat в сообщении #563156 писал(а):

верность рассуждений не страдает?

Еще как страдает - коммутативность-то не задана! А вы переставили противоположные на удобное вам место. Поэтому и добавляются один противоположный слева, а второй справа.