"Лишняя" аксиома линейного пространства

[lemanat]

Подскажите, пожалуйста, какую из аксиом линейного пространства можно считать избыточной и как примерно её вывести из совокупности 7 других аксиом и заданных суммы элементов и умножения элемента на число?

Есть идея насчет дистрибутивности по числам, но до конца рассуждения пока не доводятся.

Линейным пространством L = {a,b,c,…}называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число).
Эти операции удовлетворяют следующим условиям:
1. a+b=b+a (коммутативность сложения)
2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения)
3. существование нулевого элемента
4. существование противоположного элемента
5. 1\cdot a=a
6. \alpha(\beta\cdot a)=(\alpha\cdot \beta)\cdot a
7. (\alpha+\beta)\cdot a=\alpha\cdot a+\beta\cdot a (дистрибутивность по числам)
8. \alpha\cdot (a+b)=\alpha\cdot a+\alpha\cdot b (дистрибутивность по элементам)

[Sender]

Попробуйте записать аксиомы 3 и 4 в алгебраической форме, как остальные - может, тогда что-нибудь прояснится.

[svv]

Я думаю, что это 4) существование противоположного элемента.
Попробуйте доказать, что для любого элемента $\mathbf a$ элемент $\mathbf b=(-1)\mathbf a$ будет таким, что $\mathbf a+\mathbf b=\mathbf 0$.
Кстати, априори не исключена ситуация, когда выбрать "лишнюю" аксиому можно более чем одним способом.

[Maslov]

Для начала, я думаю, надо все-таки записать A3 и A4 в формальной форме (как советовал Sender).

Например, если мы попытается доказать "выводимость" коммутативности (A1), то важно, существование каких именно нулевых и обратных элементов постулируется: правых, левых или двусторонних.

[mustitz]

svv в сообщении #562970 писал(а):

Я думаю, что это 4) существование противоположного элемента.

Тогда множество положительных действительных чисел будет удовлетворять аксиоматике.

Для меня (4) и (5) выглядят как тавтология.

[Maslov]

mustitz в сообщении #562979 писал(а):

огда множество положительных действительных чисел будет удовлетворять аксиоматике.

1. Над каким полем?
2. Что будет являться нулевым элементом?

[mustitz]

Maslov в сообщении #562980 писал(а):

mustitz в сообщении #562979 писал(а):

огда множество положительных действительных чисел будет удовлетворять аксиоматике.

А нулевым элементом что тогда будет?

Нуль, положительные надо понимать как неотрицательные :)

[Maslov]

Над каким полем скаляров Вы собираетесь рассматривать множество неотрицательных действительных чисел?

[lemanat]

Линейным пространством $L = {a,b,c,…}$ над полем действительных (или комплексных) чисел называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число).
Эти операции удовлетворяют следующим условиям:
1. $a+b=b+a$ (коммутативность сложения)
2. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность сложения)
3. $\exists 0\in L : \forall a \in L \; \; 0+a=a$ (существование нулевого элемента)
4. $\forall a \in L \; \; \exists -a \in L : a+(-a)=0$ (существование противоположного элемента)
5. $1\cdot a=a$
6. $\alpha(\beta\cdot a)=(\alpha\cdot \beta)\cdot a$
7. $(\alpha+\beta)\cdot a=\alpha\cdot a+\beta\cdot a$ (дистрибутивность по числам)
8. $\alpha\cdot (a+b)=\alpha\cdot a+\alpha\cdot b$ (дистрибутивность по элементам)

[Joker_vD]

Хм. То есть если я умножу положительное действительное число на какое-то произвольное действительное число, я непременно получу положительное действительное число? Ну, по свойству замкнутости умножения на число?

[Maslov]

Joker_vD в сообщении #563033 писал(а):

То есть если я умножу положительное действительное число на какое-то произвольное действительное число, я непременно получу положительное действительное число?

Так можно ж рассматривать множество неотрицатрицательных действительных чисел, например, над полем $GF(2)$ :)

lemanat в сообщении #562872 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, какую из аксиом линейного пространства можно считать избыточной и как примерно её вывести из совокупности 7 других аксиом и заданных суммы элементов и умножения элемента на число?

lemanat, а откуда взялось такое задание? Почему Вы уверены, что какую-то из аксиом можно вывести из остальных?

[mustitz]

$-1 \cdot a + a = (-1 + 1) \cdot a = 0 \cdot a = 0 $

$-1$ живет в поле действительных/комплексных чисел

[Maslov]

Стесняюсь спросить, а это

mustitz в сообщении #563047 писал(а):

$ ... = 0 \cdot a = 0 $

откуда следует?

Лучше, для ясности, так записать: $0\cdot \bar a = \bar 0$

[venco]

Maslov в сообщении #563051 писал(а):

Стесняюсь спросить, а это

mustitz в сообщении #563047 писал(а):

$ ... = 0 \cdot a = 0 $

откуда?

Лучше, для ясности, так записать: $0\cdot \bar a = \bar 0$

И этого недостаточно.
Откуда следует, что $0\cdot \bar a = 0\cdot \bar b$?

[Maslov]

venco в сообщении #563054 писал(а):

И этого недостаточно.
Откуда следует, что $0\cdot \bar a = 0\cdot \bar b$?

По-моему, достаточно. Если докажем существование обратного элемента, то единственность нуля выводится из остальных аксиом.