3 задачи.

[hippie]

1.
Отрезок $A_1B_1$ содержится в отрезке $AB$, причём середины этих отрезков совпадают (т.е. $|AA_1|=|BB_1|$). $S$ — точка, не лежащая на прямой $AB$.
Доказать, что $|SA|+|SB|\ge |SA_1|+|SB_1|.$

2.
$ABC$ — равнобедренный треугольник ($|AC|=|BC|$). $CH$ — его высота. $S$ — некоторая точка (возможно, не лежащая в плоскости $ABC$). $S_1$ — ортогональная проекция $S$ на $CH$.
Доказать, что $|SA|+|SB|+|SC|\ge |S_1A|+|S_1B|+|S_1C|.$

3.
$0\le \alpha \le \frac \pi 3.$
Доказать, что $2\sqrt {x^2+\sin^2\alpha}+3\cos \alpha -x \ge 3.$

Просьба оценить сложность комплекта задач (всех трёх задач вместе, а не каждой в отдельности).

PS О происхождении этого комплекта задач расскажу позже.

[mihailm]

Уровень городской олимпиады (не московской понятно) того этапа который перед региональным

[hippie]

О происхождении комплекта.

Эти задачи являются последовательными шагами решения задачи #4 11-го класса с LII Всеукраинской Математической Олимпиады (26–30 марта 2012, Кировоград):
$SABC$ — такая треугольная пирамида, что для $M$ — точки пересечения медиан грани $ABC,$ выполняются неравенства: $|MA|>1,\ |MB|>1,\ |MC|>1.$
Доказать, что $|SA|+|SB|+|SC|>3.$

При решении естественно свести задачу к какому-то простейшему случаю, для которого и доказать неравенство.
Не уменьшая общности можно считать, что наименьшее из расстояний $|MA|,\ |MB|,\ |MC|$ это $|MA|.$

Зафиксируем точки $A$ и $M$, и подвигаем точки $B$ и $C,$ так, чтобы сумма расстояний $|SA|+|SB|+|SC|$ уменьшилась. Условие неподвижности точек $A$ и $M$ означает, что середина отрезка $BC$ при движении точек сохраняется. Сумма расстояний $|SB|+|SC|$ уменьшается независимо от положения точки $S$ в том случае, если точки $B$ и $C$ приближаются к середине отрезка (задача #1 из комплекта). При этом всегда можно добиться чтобы меньшее из расстояний $|MB|,\ |MC|$ стало равняться $|MA|.$ (Не уменьшая общности можно считать, что это $|MB|.$) В результате треугольник $ABC$ становится равнобедренным ($|AC|=|BC|$).

Теперь поищем для точки S такое место, чтобы сумма расстояний |SA|+|SB|+|SC| была поменьше.
/Конечно, можно сразу послать её в точку Торричелли, но… "мы пойдём другим путём", поскольку "нормальные герои всегда идут в обход".
Во-первых, далеко не все школьники знают, что такое точка Торричелли.
Во-вторых, решение с использованием точки Торричелли может быть не засчитано (т.к. свойства этой точки — далеко не школьный материал)./
Очевидно, что все 3 расстояния уменьшатся, если спроектировать (ортогонально) точку $S$ на плоскость $ABC.$ Но гонять точку по всей плоскости не очень удобно, поэтому поищем для неё более подходящее место. Легко заметить, что если точку $S’$ (проекцию точки $S$ на плоскость $ABC$) двигать параллельно $AB$, то и $|SA|+|SB|$ и $|SC|$ будут наименьшими тогда, когда эта точка попадает на высоту $CH$ (задача #2 из комплекта).

Остаётся показать, что для любой точки $S,$ лежащей на высоте $CH,\ \ |SA|+|SB|+|SC|\ge 3.$
Введём угол $\alpha=\widehat{AMH}=\widehat{BMH}.$ Тогда $|AH|=|BH|=|AM|\sin\alpha;\ \ |CH|=3|AM|\cos\alpha.$ Обозначим $|SH|=|AM|\cdot x.$ Тогда неравенство $|SA|+|SB|+|SC|\ge 3$ принимает вид $2\sqrt{\sin^2\alpha+x^2}+3\cos\alpha -x \ge \frac 3{|AM|},$ или, учитывая что $|AM|$ произвольное, большее 1, $2\sqrt{\sin^2\alpha+x^2}+3\cos\alpha -x \ge 3$ (задача #3 из комплекта).

--------------------------------------------------------------------------

Статистика по этой задаче.
Всего участвовало 45 одиннадцатиклассников.
Результаты по задаче (максимум — 7 баллов):

7 баллов — 1 участник;
5 баллов — 1 участник;
3 балла — 1 участник;
0 баллов — 42 участника.

[MrDindows]

Статистика по 7-ой и 8-ой задачах круче=)

[mihailm]

Ну широко известно, что два пропущенных слова очевидно в математической статье, создают далеко неочевидную ситуацию, а уж три...

[hippie]

MrDindows в сообщении #563204 писал(а):

Статистика по 7-ой и 8-ой задачах круче=)

Статистика по 8-й задаче меня, почему-то, совсем не удивила .

7-я, действительно, далеко не настолько сложная, чтобы её решил только 1 участник.

Но между ними и 4-й есть принципиальная разница.
В 4-й СРАЗУ виден план решения:
1. Упростить основание;
2. Найти "оптимальное" положение точки $S;$
3. Доказать, что в этом положении сумма расстояний не меньше 3.
(Причём, тем кто знает свойства точки Торричилли пункт (2) не нужен!)
И то, что при таком естественном решении положительные баллы получили только 3 участника действительно очень сильно удивляет !