Отказываясь от стандартного определения сходимости на
, Вы теряете гораздо больше, чем себе представляете. Весь анализ уйдет в топку. Оно перестанет быть многообразием (это можно даже доказать). Вы не сможете по нему интегрировать. Физики никогда не пойдут на отказ от того, чтобы классическое пространство перестало быть многообразием. Вам придется переписывать весь классический анализ в других терминах, он никогда не будет построен и никогда никого не привлечет.
Мы же пока не отказались от стандартной топологии. Это лишь размышления в данную сторону, причем навеянные совсем иной задачей, для решения которой, ни мы, ни кто из известных нам энтузиастов, на сколько мы знаем, не сумел найти решения, оставаясь в стандартном определении сходимости последовательности двойных чисел. Речь о попытках построения гиперболических аналогов фракталов из множества Жюлиа на комплексной плоскости прямыми итерациями. Наша гипотеза, объясняющая подобные неудачи как раз и связана с предположениями о "не правильной" топологии. Допускаю, что мы не там видим причину. В любом случае, вопрос с нестандартным определением понятия сходимости последовательности двойных чисел сейчас особенно остро не стоит, тем более, что нам задача построения соответствующих гиперболических фракталов представляется уже решенной, за счет привлечения метода близкого к известному приему обратных итераций. Результат на столько логично вписывается в сравнение с построением обычных комплексных предфракталов и фракталов, что, на наш взгляд, является гарантированно правильным.
Цитата:
Вас смущает, что базу стандартной топологии образуют евклидовы шары. Но баз у одной и той же топологии может быть много. Можно вообще обойтись без базы.
Меня смущает совсем другое. Дело в том, что задача с построением гиперболических аналогов предфракталов из множества Жюлиа решилась таким образом, что соответствующие объекты оказались состоящими не из точек (как на евклидовой плоскости), а из точек плюс связанные с ними делители нуля. Это производит на столько сильное впечатление, что по неволе заставляет задуматься, почему так получается, и почему не получается по другому..
Цитата:
То, что вещественная аналитичность не является следствием никакого уравнения, а требуется дополнительно непонятно зачем.
Пожалуйста, ответьте на следующий вопрос. Следствием какого важного условия и каких уравнений является вещественная аналитичность обычных функций одной действительной переменной, использующихся в физике? Почему для двойных чисел что-то тут должно быть иначе устроено?
Цитата:
Вы заявили, что эта функция используется в мат. физике и является функцией Грина для некоторой конкретной теории. Ничем, кроме слов Игоръ, это не подкрепили (кстати, в его сообщении интонация была скорее вопросительной --- ну да ладно). Я думаю, что с такими высказываниями надо быть осторожнее, особенно если не знаете квантовой механики.
Согласен, что допустил оплошность, но мне и в голову, когда отвечал на ваш вопрос, не могло придти, что оказывается на сегодня есть только один вариант конформной двумерной квантовой теории поля, основанной на аналитических функциях комплексной плоскости. Для меня было и остается практически очевидным, что есть принципиальная возможность построить аналог этой теории основанный на "узком" классе h-аналитических функций двойной переменной. Я думал, что
Игоръ именно этот вариант и имел ввиду.
Цитата:
Когда уравнения напишете, выделяющие Ваш класс, тогда это будет вполне вероятно.
Пока я знаю только один способ очертить данный класс функций. Воспользоваться аналогией с аналитическими функциями комплексной переменной. Этот прием описан тут:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdfна страницах 16-19.
Возможно, как Вы говорили, данный прием охватывает только элементарные аналитические функции комплексной переменной и их гиперболические аналоги (что еще проверить надо), но даже в этом случае получающееся множество бесконечнопараметрическое и достаточно велико, что бы задача геометрической и физической интерпретации стоящих за ним проcтранственно-временных скалярных и векторных полей стояла как весьма важная и серьезная.
Ну так как, будем переходить к обсуждению собственно самих векторных полей и их физической подоплеки, или еще пару кругов сделаем, в надежде, что делать это окажется не нужно?
Цитата:
Я только повторюсь. В физике все хорошее и полезное следует из уравнений. Напишете уравнения, выделяющие Ваш хороший класс (который, кстати, не инвариантен относительно конформных преобразований --- только относительно вещественно аналитических конформных преобразований), будем разговаривать более серьезно. По свойствам уравнений, может быть, даже подскажу (но деанонимизироваться не обещаю). И другие участники форума, если будут написаны уравнения, почти наверняка заинтересуются.
Я не понимаю, зачем нужны некие специальные уравнения для конкретизации всего данного класса функций, если его можно получить, из неких иных принципов? В данном случае, путем, предложенным в вышеуказанной статье по установлению взаимнооднозначного соответствия с аналитическими функциями комплексной переменной. Нужно просто брать любую из функций гиперболической двойной переменной данного "узкого" класса и рассматривать ее полевую геометрическую и полевую физическую интерпретацию в двумерном пространстве-времени. После Вашего замечания на счет функций Грина задача с интерпретацией даже расширилась. Кроме классической геометрической и физической интерпретацией, можно ставить вопрос и о квантово-механической интерпретации каждой функции и разработке под эту задачу модифицированной аксиоматики аналога квантовой механики. Я вижу надобность и рациональность именно такой постановки вопроса. И иных дополнительных мотиваций, думаю, не нужно.
-- Вс апр 22, 2012 01:44:12 --роют не гробы, а могилы.
Тут я соглашусь :)
С могилой для старых методов в геометрии и физике? :)
Цитата:
Он имел в виду, что все сущее описывается математикой, и не более. В тот момент математика работала в основном с числами.
Вы думаете я не знаю, что Пифагором имелись ввиду рациональные числа? Мне приятно, что я так же могу внести свою лепту в развитие и уточнение упомянутого замечательного эвристического принципа, расширив класс Чисел с рациональных до поличисел. :) А так же, связав их с конкретными классами финслеровых пространств..
Цитата:
Так считаете только Вы. Все остальные серьезно не воспринимают элементы алгебр, не являющихся простыми, в качестве чисел. Двойные числа --- это устоявшееся название, да. Но это совершенно не важно. Ну хорошо, даже назовем их числами, и что? Неужели Вы прицепились только к высказыванию Пифагора?
Нет, конечно. Дело не только в Пифагоре. Я говорил в чем, но Вы пока не придаете этому значения. Дело в содержательном множестве нелинейных непрерывных симметрий. Причем последние могут образовывать не только группы, но и
-группы. Напомню другой вариант фундаментального принципа: "Важны не вещи, а принципы симметрий". Ваши замечания с примерами тривиальности богатых множеств симметрий на меня не произвели впечатления. Я, естественно, говорил о нетривиальных симметриях. Типа групп конформных преобразований (пусть и не всех, а некоторого их подмножества) и расширения этих симметрий на инварианты, выходящие за рамки короткого списка квадратичных пространств, состоящего из длин и углов, на финслеровы обобщения скалярного произведения. Я говорю о скалярном полипроизведении многих векторов и о связанных с этим основным геометрическим объектом полиуглах.
Цитата:
Я вообще не хотел бы продолжать холивар по поводу того, что считать числами, а что нет. Это не математический вопрос. Лучше давайте вернемся к теории функций.
Думаю что зря. Кроме математики, геометрии и физики полезную роль в естествознании играет метафизика и даже философия. Ну да раз не хотите, то и не будем вопрос с числами/Числами тут продолжать обсуждать. Во всяком случае, с Вами я постараюсь в этом отношении быть более сдержанным..
-- Вс апр 22, 2012 02:01:42 --И вот еще. Все-таки, это
Только для этого узкого класса. Но он не такой уж и узкий. Он ровно на столько же широк, на сколько широко множество пар вещественно-аналитических функций от одной переменной каждая
или это
и ровно на столько же, на сколько широко множество обычных аналитических функций комплексной переменной, для которой Вы не сомневаетесь в справедливости формулы Коши.
?
Все-таки, это разные вещи. Вы можете установить соответствие даже между ними?
Во всяком случае для тех функций комплексной и двойной переменной, что Вы называете элементарными. Я так понимаю, речь о тех, что могут быть записаны в виде формулы от
или
. Если, как Вы говорите, есть аналитические функции комплексной переменной, которые не представимы в виде формулы от
, то для них я о таком соответствии сейчас не заявляю. Я таких аналитических функций не "чувствую". Нужны конкретные примеры. Фрактальные аналитические функции подойдут? Или они то же выражаются в виде формул от
? Даже если нет, теперь мы научились строить аналоги фрактальных множеств Жюлиа на плосоксти двойной переменной. Значит, такие функции так же имеют аналоги в обе стороны.. Приведите понятный пример, я постараюсь его обдумать..
Цитата:
При этом аргумент выделения вещественной аналитичности (который я пока даже не признаю, что физический, потому что выдвинут в качестве дополнительного требования) Вас не спасет. По теореме Уитни гладкую функцию можно равномерно приблизить вещественно аналитическими. Поэтому если есть пара гладких функций, для которых нарушается ф-ла Коши, то найдется и пара вещественно аналитических функций.
Я почти не умею мыслить общими случаями. Мне лучше понять, о чем речь на конкретном примере. И лучше попроще. Можете привести?
Цитата:
Наши с Вами сообщения раздуваются до неприличия. Я могу сформулировать конспект вопросов к Вам, которые я считаю важными, и выделить в отдельную тему. Согласны?
Не возражаю. Я постараюсь ответить, но не уверен, что Вас это удовлетворит, или я не наделаю ошибок..