Плотность распределения [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Помогите пожалуйста разобраться с такой задачкой.

Случайные величины $\xi_1, \xi_2,\cdots, \xi_n, n\geq 2,$ независимы и имеют показательное распределение с параметром 1. Обозначим $\eta=\frac{\xi_1}{\xi_1+\cdots+\xi_n}$. Найти плотность распределения $\eta$.

Преподаватель дал мне такую подсказку:
Нужно использовать равенство:
$P\{\eta \leq x\}=P\Big\{\xi_1\leq \dfrac{x}{1-x}(\xi_2+\dots+\xi_n)\Big\}=\int \limits_{0}^{\infty}P\Big\{\xi_1 \leq \dfrac{ux}{1-x}\Big\}p_{\xi_2+\dots+\xi_n}(u)du$
Дальше все понятно мне. Я вот никак не могу понять откуда взял этот интеграл и почему там такая подынтегральная функция? Объясните пожалуйста.

С уважением, Whitaker.

[ИСН]

Видите, как здорово. Мне нифига не понятно, например, что такое $p_{\xi_2+\dots+\xi_n}$.

[Whitaker]

ИСН
Ну это вроде плотность распределения с.в. $\xi_2+\cdots+\xi_n$

[svv]

Пусть $\alpha$ и $\beta$ -- две случайные величины с плотностью распределения $p_{\alpha, \beta}(x, y)$.
Пусть имеется некоторое множество $G$ пар $(x, y)$.
Тогда вероятность, что пара случайных значений величин $\alpha$ и $\beta$ принадлежит множеству $G$, равна
$P_G=\iint\limits_G p_{\alpha, \beta}(x, y) dx dy$
Интегрирование производится по множеству $G$.

Пусть $G$ -- множество пар, для которых $x\leqslant y$. Тогда
$P_G=P\{\alpha\leqslant\beta\}=\int\limits_{y=-\infty}^{+\infty} \int\limits_{x=-\infty}^{y}p_{\alpha, \beta}(x, y) dx dy$

Если вдобавок известно, что величины $\alpha$ и $\beta$ независимы, то $p_{\alpha, \beta}(x, y)=p_{\alpha}(x)p_{\beta}(y)$, и
$P\{\alpha\leqslant\beta\}=\int\limits_{y=-\infty}^{+\infty} \left( \int\limits_{x=-\infty}^{y}p_{\alpha}(x) dx\right)p_{\beta}(y) \;dy=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} P\{\alpha\leqslant y\}\; p_{\beta}(y) \;dy$

Теперь возьмем в качестве $\alpha$ случайную величину $\frac 1 c \xi_1$, где $c>0$ -- вещественное число, а в качестве $\beta$ -- случайную величину $\xi_2+\cdots+\xi_n$:
$P\{\frac 1 c \xi_1\leqslant\xi_2+\cdots+\xi_n\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} P\{\frac 1 c \xi_1\leqslant y\}\; p_{\xi_2+\cdots+\xi_n}(y) \;dy$
или
$P\{\xi_1\leqslant c(\xi_2+\cdots+\xi_n)\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} P\{\xi_1\leqslant c y\}\; p_{\xi_2+\cdots+\xi_n}(y) \;dy$

Немую переменную интегрирования $y$ заменим на $u$. В качестве $c$ подставим $\frac{x}{1-x}$. Учтем, что при $u<0$ плотность $p_{\xi_2+\cdots+\xi_n}(u)=0$, т.е. можно нижний предел взять равным $0$.
$P\{\xi_1\leqslant \frac{x}{1-x}(\xi_2+\cdots+\xi_n)\}=\int\limits_{0}^{+\infty} P\{\xi_1\leqslant \frac{ux}{1-x} \}\; p_{\xi_2+\cdots+\xi_n}(u)\; du$

[_hum_]

А еще, если хочется все же в первую очередь увидеть смысл, а не мат. выкладки, можно, наверное, так. По обобщенной формуле полной вероятности:

$$ P(\alpha \leqslant \beta ) = \int P(\alpha \leqslant \beta\, |\, \beta = u ) \,dP_\beta (u)$$

Если с.в. $\beta$ имеет плотность распределения, то $dP_\beta(u) = p_\beta(u)du$. Если $\alpha$ и $\beta $ независмы, то $P(\alpha \leqslant \beta\, |\, \beta = u ) = P(\alpha\leqslant u)$. В итоге получается искомое равенство:

$$ P(\alpha \leqslant \beta ) = \int P(\alpha \leqslant u )\, p_\beta(u)du.$$

[Whitaker]

svv
Вот мы получили, что: $P\{\xi_1\leqslant \frac{x}{1-x}(\xi_2+\cdots+\xi_n)\}=\int\limits_{0}^{+\infty} P\{\xi_1\leqslant \frac{ux}{1-x} \}\; p_{\xi_2+\cdots+\xi_n}(u)\; du$
У меня получилось следующее:
$P\{\xi_1\leqslant \frac{ux}{1-x}\}=P\{\xi_1\leqslant z=\frac{ux}{1-x}\}=\int \limits_{-\infty}^{z}p_{\xi_1}(t)dt=\int \limits_{0}^{z}e^{-t}dt$$=1-e^{-z}=1-e^{-\frac{ux}{1-x}};$
$p_{\xi_2+\cdots+\xi_n}(u)=e^{-u}\frac{u^{n-2}}{(n-2)!};$
Подставляя получим:

$$\int \limits_{0}^{+\infty}\Big(1-e^{-\frac{ux}{1-x}}\Big)e^{-u}\frac{u^{n-2}}{(n-2)!}du=\frac{1}{(n-2)!}\int \limits_{0}^{+\infty}u^{n-2}e^{-u}du-\frac{1}{(n-2)!}\int \limits_{0}^{+\infty}u^{n-2}e^{-\frac{u}{1-x}}du$$

$$=\frac{\Gamma(n-1)}{(n-2)!}-\frac{(1-x)^{n-1}}{(n-2)!}\Gamma(n-1)=(n-1)-(n-1)(1-x)^{n-1};$$

Получили, что: $F_{\eta}(x)=(n-1)-(n-1)(1-x)^{n-1};$
Отсюда: $p_{\eta}(x)=(n-1)^2(1-x)^{n-1}$
Ответ в книге таков: $p_{\eta}(x)=(n-1)(1-x)^{n-1}$
Скажите пожалуйста где я ошибку допустил? Я несколько раз перепроверил, но ничего не нашел

-- Сб апр 21, 2012 20:46:49 --

Все я понял ошибку.
Я написал, что $\Gamma(n)=n!$. А это неверно.
Извиняюсь за глупую ошибку.

[Whitaker]

svv
Большое Вам спасибо за помощь и за подсказки!
Вы мне очень помогли!