о снятии статической неопределенности

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим однородную балку массы $m$ и длины $4a$ в поле силы тяжести см. верхний рисунок. На левом конце балки находится неподвижный шарнир $A$ вокруг которого балка может свободно вращаться. Балка лежит горизонтально на двух опорах $B,C$. Опоры считаются гладкими т.е. силы реакции этих опор направлены вертикально. Задача: найти эти реакции.

Как известно, если балка является абсолютно твердым телом, то задача статически неопределима.

Расскажу об одном остроумном выходе из этого положения, про который услышал на днях от коллег. См. нижний рисунок. Идея состоит в следующем. Заменим опоры $B,C$ пружинами жесткости $k$. Статическая неопределенность снимается. Мы можем найти реакции $V$ и $W$. Переходим к пределу при $k\to\infty.$

Действительно уравнение моментов относительно $A$ дает

$$2V-2mg+3W=0,\quad V=2ak\tg\alpha,\quad W=3ak\tg\alpha.$$

Силы реакции пружин имеют еще и горизонтальные составляющие, но я их не пишу поскольку они имеют порядок $O(\alpha)$ и пропадут из уравнения при предельном переходе.
При большом $k$ угол $\alpha$ будет маленьким ($k\to\infty,\quad \alpha\to 0$), поэтому с точностью до $O(k\alpha^3)$ уравнение примет вид

$$13ak\alpha=2mg, $$

откуда $k\alpha=\frac{2mg}{13a}.$
Переходя к пределу, находим

$$V=\frac{4}{13}mg,\quad W=\frac{6}{13}mg .$$

Это и есть реакции опор $B$ и $C$ соответственно.
Интересно было бы сравнить это с результатом, который даст сопромат.

[Padawan]

Видел этот рисунок (но почти, там балка на нитках висела) и это рассуждение в учебнике по физике Пинского за 10 класс.

[Oleg Zubelevich]

Вот у меня есть подозрение, что сопромат даст другой результат.

[Padawan]

Интересно также, насколько такое решение соответствует дейсвительности. Понятно, что оно имеет смысл только в некотором диапазоне соотношений жесткости опор и веса балки. Да и линейные размеры тут имеют значение, так как имеет значение точность установки балок на одинаковой высоте.

[peregoudov]

А чем ваше решение отличается от сопроматовского? Задали очень жесткую балку и граничные условия третьего рода на опорах. Сопромат, правда, скорее предложит вам мягкую балку и условия первого рода на опорах, но тут уж как задачу ставить...

[Oleg Zubelevich]

peregoudov в сообщении #560314 писал(а):

Сопромат, правда, скорее предложит вам мягкую балку и условия первого рода на опорах

вот-вот

[Шимпанзе]

Oleg Zubelevich в сообщении #560343 писал(а):

peregoudov в сообщении #560314 писал(а):

Сопромат, правда, скорее предложит вам мягкую балку и условия первого рода на опорах

вот-вот

Сопромат ничего не предложит. Предложит учебник по строительной механике, раздел « расчет статически неопределимых систем по методу перемещений».

[KAM]

Классическая задача на статически неопределимую стержневую систему, работающую на растяжение сжатие. Предполагается, что горизонтальный стержень абсолютно жёсткий, необходимо найти напряжение в поддерживающих стержнях (опорах). Подобные задачи 1.66, 1.68(г), 1.119 и др. (Беляев Н. М. "Сборник задач по сопротивлению материалов"). Методы решения там же или в любом учебнике по сопротивлению материалов.
Так же верно заметили, что задачу можно поставить в рамках деформируемой горизонтальной балки. Результат будет другим.

[alien308]

Как определим жёсткости элементов и условия соприкосновения такой ответ и будет. На то и неопределённость. Это академический ответ. В жизни реальных конструкций важна ползучесть (пластичность) ещё не приводящая к разрушению, она способствует выравниванию нагрузок.