Конференция по финслеровой геометрии

[g______d]

Time в сообщении #562360 писал(а):

Цитата:

Извините за занудство, но это можно понимать двояко. Им занимался кто-то другой? Или, наоборот, вообще никто?

Чувствую, что Вы просто так не отступитесь. Вообще-то не принято называть имена рецензентов или людей, кто принимал участие в выверке и в правке публикаций.

Я прошу прощения --- я не имел в виду называть конкретные фамилии, мне просто было интересен ответ "да или нет". Мне бы вполне хватило "да". Возможно, стоит удалить фамилию.

-- 21.04.2012, 11:10 --

Time в сообщении #562360 писал(а):

Цитата:

1. Вещественно-аналитическая функция в некоторой области --- это функция одной или нескольких вещественных переменных, которая в окрестности любой точки раскладывается в сходящийся ряд Тейлора.

По-моему, Вы сами никак не $h$-аналитические функции двойной переменной как раз из пары таких вещественно-аналитических функций от одной переменной каждая и состоят.

Гладких, а не вещественно-аналитических. В этом все и дело. Аналитичность не следует из гиперболических условий Коши-Римана, в отличие от классических.

Time в сообщении #562360 писал(а):

Цитата:

2. Для таких функция справедлив принцип аналитического продолжения --- если две вещественно-аналитические функции совпадают в некоторой области (на самом деле достаточно меньшего, но нам это не понадобится), то они совпадают везде, где определены (в той же компоненте связности --- но здесь это тоже не так важно).

Тогда почему Вы утверждали, что для $h$-аналитических функций этот принцип аналитического продолжения не справедлив. Наверное Вы имели ввиду функции двойной переменной, которые "составлены" из пары функций одной переменной, когда хотя бы одна из них не является вещественно-аналитической.

Да. Они при этом будут $h$-аналитическими.

Time в сообщении #562360 писал(а):

Аналогичное свойство, на сколько я понимаю, возникает и у $h$-аналитических функций двойной переменной. Нужно только "правильно" их конструировать.

И где же они сконструированы "правильно"? В Ваших работах много где написано, что предполагаются только гиперболичекие условия Коши-Римана, из которых не следует аналитичность.

Time в сообщении #562360 писал(а):

Цитата:

4. Все элементарные функции вещественно аналитичны на своей области определения. Неформально говоря, функция, заданная формулой, без склеек в стиле предыдущего пункта, будет вещественно аналитична на своей области определения.

Снова все это наследуется для $h$-аналитических функций.

Для элементарных --- да.

Time в сообщении #562360 писал(а):

Так кто ж говорил про не аналитические функции двойной переменной?

См. выше.

[Time]

g______d в сообщении #562362 писал(а):

Я прошу прощения --- я не имел в виду называть конкретные фамилии, мне просто было интересен ответ "да или нет". Мне бы вполне хватило "да". Возможно, стоит удалить фамилию.

Согласен. Удалил.

Цитата:

Гладких, а не вещественно-аналитических. В этом все и дело. Аналитичность не следует из гиперболических условий Коши-Римана, в отличие от классических.

Это означает лишь одно, а именно, что не правильно $h$ аналитичность связывать с одним только требованием выполнимости гиперболических условий Коши-Римана. От этого одни только проблемы и непонимание.

Цитата:

Да. Они при этом будут $h$-аналитическими.

Кто мешает переопределить понятие $h$-аналитичности так, что бы главным тут стала вещественная аналитичность обеих функций от одной переменной каждая?

Цитата:

И где же они сконструированы "правильно"? В Ваших работах много где написано, что предполагаются только гиперболичекие условия Коши-Римана, из которых не следует аналитичность.

В статьях с Кокаревым этот момент, на сколько я помню, уже учтен.
К тому же Вы думаете легко было сразу во всех этих нюансах разобраться? Да еще не математику? Особенно сильно меня сбивала и продолжает сбивать с правильного направления инвариантность соответствующих полей по отношению к гиперболическому углу. Единственный более менее разумный выход, который тут видится - нужно еще и гиперболический угол, вернее, его "идеальный" аналог на псевдоевклидовой плоскости правильно переопределить. Думаю, что здесь проблема как раз в отсутствии хорошего определения понятия сходимости последовательности двойных чисел. Ну не будет здесь полного порядка, пока этот пробел бельмом висит.

Цитата:

Для элементарных --- да.

И то хлеб. Так можно начинать обсудать физический смысл таких функций двойной переменной в связи с соответствующими пространственно-временнгЫми векторными и скалярными полями?

[Oleg Zubelevich]

Time
я думаю, что приложения этой Вашей науки, которые могли бы быть интересны людям, скажем так, традиционной ориентации, можно поискать в интегрируемости уравнений, например, $\dot x=a(t)x$ но только умножение уже поличисловое, верно ли, что $x(t)=e^{\int a(t)dt}$ когда это верно? И возможно какие-то обобщения методов типа $L-A$ пары поискать

[g______d]

Сорри, я ответил не на все сразу, но отвечу.

Time в сообщении #562365 писал(а):

Кто мешает переопределить понятие $h$-аналитичности так, что бы главным тут стала вещественная аналитичность обеих функций от одной переменной каждая?

Я еще раз поясню, в чем мне кажется неестественным работа с таким классом функций. В классическом комплексном анализе сразу всё следовало из условий Коши-Римана --- и формула Коши, и принцип аналитического продолжения, и т. д.

Для $h$-аналитических функций какие-то свойства следуют из гиперболических уравнений Коши-Римана. Но Вам их мало --- Вы хотите, например, вещественной аналитичности. Для этого надо сузить класс. Про то, что такой класс еще не построен, в каждой работе, в которой он используется, вообще-то, полагается писать :) И уж точно, если формула Коши верна только для этого класса (еще не построенного), надо об этом громко говорить, а не заявлять "мы доказали формулу Коши, и пока еще никто не нашел ошибки".

Если она все-таки верна для произвольных $h$-аналитических функций, то это другой разговор, но это тоже с виду не доказано (и мои претензии выше относились к этому моменту).

-----------------------------------------------
Я назову условие, при котором я скорее всего соглашусь с естественностью данного определения. Именно, если Вы напишете еще одно уравнение (в дополнение к гиперболическим условиям Коши-Римана), которое выделяет нужный класс функций.
-----------------------------------------------

При этом сразу же можно будет говорить о какой-то физической системе, которая описывается этими уравнениями. Я считаю это требование оправданным, т. к. в комплексном анализе сразу все свойства следовали из одного уравнения.

-- 21.04.2012, 11:50 --

Time в сообщении #562344 писал(а):

В свое время, при аналогичном споре вокруг возможной интерпретации функции логарифм на плоскости двойной переменной один из участников предположил, что такая интерпретация может быть связана с функциями Грина:
post271306.html#p271306
(третий пост с верху)

Ну, это звучит уже не так безапелляционно, как предыдущее:

Time в сообщении #562322 писал(а):

Нет, конечно, тот же логарифм от двойных чисел матфизика вовсю использует. Это просто одна из основных функций Грина в одном из разделов квантовой механики под названием конформная теория поля.

В общем, я сомневаюсь в этом. По крайней мере, я посмотрел несколько источников и не обнаружил логарифма в качестве функции Грина --- по крайней мере, для уравнения Даламбера. Единственное, где он возникает, --- это $2d$ уравнение Лапласа, что соответствует евклидовой конформной теории поля, но это явно логарифм из классического комплексного анализа, а не гиперболический.

В $2d$ уравнении Даламбера особенность имеет коразмерность 1, а не 2, поэтому логарифмического поведения там странно ожидать.

Если я не прав, приведите ссылки.

[Time]

Oleg Zubelevich в сообщении #562368 писал(а):

Time
я думаю, что приложения этой Вашей науки, которые могли бы быть интересны людям, скажем так, традиционной ориентации, можно поискать в интегрируемости уравнений, например, $\dot x=a(t)x$ но только умножение уже поличисловое, верно ли, что $x(t)=e^{\int a(t)dt}$ когда это верно? И возможно какие-то обобщения методов типа $L-A$ пары поискать

Для приложений "нашей нетрадиционной" науки, прежде всего, необходимо людям "традиционной ориентации" хотя бы в предположительном плане допустить возможность реализации в реальном мире вокруг нас не только псевдоримановой геометрии с метрикой Минковского, но и псевдофинслеровой геометрии с метрикой Бервальда-Моора. В четырех измерениях, а не только в двух.. К сожалению, это только сказать легко. На самом деле это существенно сложнее, чем в свое время физикам было согласиться с переходом от геометрии пространства-времени Галилея к геометрии пространства-времени Минковского. Тогда хотя бы уравнения электродинамики имели уже "нужные" группы симметрий и хоть какие то экспериментальные основания для подозрений в необходимости переориентации приоритетов были. В "нашем" случае очевидных оснований в экспериментах пока нет. Более того, они бы не скоро еще появились, если б не единственно возможный противоположный ход. Не от эксперимента к математической модели, а наоборот. Правда проблема тут, как Вы сами можете убедиться по простыням предыдущих текстов, все осложняется еще тем, что большинство математиков и физиков-теоретиков не видят такой математической конструкции, которая по их мнению, давала бы поводы к соответствующим физическим выводам. Почему само понятие двойного (и других поличисел) их к этому не подталкивает - мне понять трудно. Вероятно, потому, что Пифагора никогда не уважали и Число с большой буквы для них пустой звук.
Что касается практических шагов в переубеждении, как Вы говорите, людей традиционной ориентации, то я давно согласился с чисто формальными, на мой взгляд, требованиями доказать свою правоту в экспериментах. Как раз сегодня начинается второй сезон таких полевых работ. Надеюсь, он закончится созданием некоего работающего опытного образца типа грозоотметчика Попова. Без этого, к сожалению, еще лет сто можно спорить с математиками и физиками, есть у нас основания правильно думать о реальности, или нет..

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #562368 писал(а):

Time
я думаю, что приложения этой Вашей науки, которые могли бы быть интересны людям, скажем так, традиционной ориентации, можно поискать в интегрируемости уравнений, например, $\dot x=a(t)x$ но только умножение уже поличисловое, верно ли, что $x(t)=e^{\int a(t)dt}$ когда это верно? И возможно какие-то обобщения методов типа $L-A$ пары поискать

Все это частный случай матричного умножения, причем соответствующие матрицы (в изотропном базисе) диагональны. Как я понимаю, то, что Вы говорите, существует для произвольных матриц.

-- 21.04.2012, 12:04 --

Time в сообщении #562344 писал(а):

Кажется там даже про формулу Коши на плоскости двойной переменной что-то есть.

Да, точнее, про ее отсутствие в общем случае --- что довольно правдоподобно.

Time в сообщении #562344 писал(а):

Сразу подчеркну, что я не считаю эту работу самодостаточной теорией функций двойной переменной, так как в ней так же отсутствует, как Вы говорите, во внутренних псевдоевклидовых понятиях, определение сходимости последовательности двойных чисел.

Там используется стандартная топология на $\mathbb R^2$. Хотя у них используется отображение в $\mathbb C$ для определения нормы, это не более чем для удобства вычислений. Эта норма задает ту же самую стандартную топологию. Как я подчеркивал выше сама топология (а больше ничего для определения сходимости не нужно) является внутренним псевдоевклидовым понятием.

Time в сообщении #562344 писал(а):

Но Вам как математику, возможно, язык этой работы покажется на много более родным, чем язык Кокарева или Гарасько.

Да, ее намного легче читать.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #562378 писал(а):

Все это частный случай матричного умножения, причем соответствующие матрицы (в изотропном базисе) диагональны. Как я понимаю, то, что Вы говорите, существует для произвольных матриц.

я не очень понял, что Вы хотели сказать, но имел ввиду следующее: вот уравнение $\dot z=a(t)z,\quad z=x+iy$ или $\dot z=a(t)z+b(t)z^n, a(t),b(t)\in \mathbb{C}$ если оно записано как система двух уравнений на $x,y$, то интегрируемость этой системы неочевидна, а в комплексной записи очевидна, тоже должно быть (по модулю условий на делители нуля и тп) с поличислами

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #562381 писал(а):

g______d в сообщении #562378 писал(а):

Все это частный случай матричного умножения, причем соответствующие матрицы (в изотропном базисе) диагональны. Как я понимаю, то, что Вы говорите, существует для произвольных матриц.

я не очень понял, что Вы хотели сказать, но имел ввиду следующее: вот уравнение $\dot z=a(t)z,\quad z=x+iy$ или $\dot z=a(t)z+b(t)z^n, a(t),b(t)\in \mathbb{C}$ если оно записано как система двух уравнений на $x,y$, то интегрируемость этой системы неочевидна, а в комплексной записи очевидна, тоже должно быть (по модулю условий на делители нуля и тп) с поличислами

Если есть какая-то система, интегрируемость которой легче в двойных числах, то мне представляется, что это то же самое, что разделение переменных при переходе к правильному базису. Примерно потому что алгебра $H_2(\mathbb R)$ --- это прямое произведение двух экземпляров $\mathbb R$.

-- 21.04.2012, 12:34 --

Time в сообщении #562377 писал(а):

Почему само понятие двойного (и других поличисел) их к этому не подталкивает - мне понять трудно. Вероятно, потому, что Пифагора никогда не уважали

Вы сами себе роете математический гроб такими высказываниями. Пифагор что-то говорил о важности двойных чисел? Думаю, если бы он жил наше время, то ответил Вам примерно то же, что и Винберг. Но я не настаиваю.

Time в сообщении #562377 писал(а):

и Число с большой буквы для них пустой звук.

Ну в принципе нет. Они даже не против, чтобы лично Вы называли двойные числа Числами. Только что от этого поменяется? Им нужны теоремы, а не названия. Докажете красивую теорему о важности именно двойных чисел --- глядишь, и отношение поменяется. О красоте у всех понятия разные, но о доказательстве --- одинаковые.

[Time]

g______d в сообщении #562370 писал(а):

Я еще раз поясню, в чем мне кажется неестественным работа с таким классом функций. В классическом комплексном анализе сразу всё следовало из условий Коши-Римана --- и формула Коши, и принцип аналитического продолжения, и т. д.

Надеюсь, что Вы согласитесь в важности не того, что лично Вам кажется естественным или не естественным, а что конкретно полезного, в частности, для физических приложений можно вытащить из того или иного гипотетически возможного варианта определения класса "хороших" функций двойной переменной.

Цитата:

Для $h$-аналитических функций какие-то свойства следуют из гиперболических уравнений Коши-Римана. Но Вам их мало --- Вы хотите, например, вещественной аналитичности.

Не мало, а наоборот, много. Следствия из гиперболических условий Коши-Римана - дают слишком широкий класс функций двойной переменной.

Цитата:

Для этого надо сузить класс. Про то, что такой класс еще не построен, в каждой работе, в которой он используется, вообще-то, полагается писать :)

. Что касается меня, то я только об этом "узком классе" всегда и говорил. О более широком всегда говорили другие, кто видел слишком щироко. :)

Цитата:

И уж точно, если формула Коши верна только для этого класса (еще не построенного), надо об этом громко говорить, а не заявлять "мы доказали формулу Коши, и пока еще никто не нашел ошибки".

Только для этого узкого класса. Но он не такой уж и узкий. Он ровно на столько же широк, на сколько широко множество пар вещественно-аналитических функций от одной переменной каждая и ровно на столько же, на сколько широко множество обычных аналитических функций комплексной переменной, для которой Вы не сомневаетесь в справедливости формулы Коши. Именно понимание этого неочевидного для Вас момента позволяет мне быть уверенным, что и для функций двойной переменной (именно этого "узкого" класса) должен быть справедлив аналог формулы Коши. Разница, конечно же будет. Она обусловлена наличием делителей нуля и алгебраической незамкнутостью алгебры двойных чисел, но это примерно такие же решаемые проблемы, как в свое время были решены при переходе от действительных чисел к двойным, а тут будут преодалены переходом от двойных чисел над полем вещественных чисел, к двойным над полем комплексных.

Цитата:

Если она все-таки верна для произвольных $h$-аналитических функций, то это другой разговор, но это тоже с виду не доказано (и мои претензии выше относились к этому моменту).

Это Вы и другие математики пытаетесь мыслить на столько широко, на сколько позволяют в данный момент обстоятельства. Мне вполне достаточно частных примеров и уверен в работоспособности некоторой формулы Коши для двойных чисел я лишь для тех функций, что соответствуют "узкому" классу.
С Вашей точки зрения он не описан. С моей - вполне четко очерчен. Это функции, которые в изотропном базисе представимы в виде пар вещественно-аналитических функций от одной действительной переменной каждая. Что Вас не устраивает в таком определении?

Цитата:

-----------------------------------------------
Я назову условие, при котором я скорее всего соглашусь с естественностью данного определения. Именно, если Вы напишете еще одно уравнение (в дополнение к гиперболическим условиям Коши-Римана), которое выделяет нужный класс функций.
-----------------------------------------------

Вы можете вообще не трогать гиперболические условия Коши-Римана. Они следуют автоматически из условия, сформулированного для "узкого" класса аналитических функций двойной переменной выше.

Цитата:

При этом сразу же можно будет говорить о какой-то физической системе, которая описывается этими уравнениями. Я считаю это требование оправданным, т. к. в комплексном анализе сразу все свойства следовали из одного уравнения.

Неужеле спустя несколько месяцев разговоров мы наконец вплотную приблизились к главному? Вы действительно готовы на основании подробного изучения двумерных скалярных и векторных полей связанных с таким "узким" классом функций двойной переменной сосредоточиться на том, какие именно физические явления в двумерном пространстве-времени им соответствуют? Готовы, хотя бы гипотетически согласиться допустить, что современная физика не предполагала наличия именно такого типа полей и потому их придется изучать "на новенького"? И прежде всего поле, описываемое функцией гиперболического логарифма?

Цитата:

Ну, это звучит уже не так безапелляционно, как предыдущее:

Я просто сообщил Вам ту информацию, которую мне в свою очередь сообщил конкретный человек. Если в ней что-то не так, переадресовываю к нему.

Цитата:

В общем, я сомневаюсь в этом. По крайней мере, я посмотрел несколько источников и не обнаружил логарифма в качестве функции Грина --- по крайней мере, для уравнения Даламбера. Единственное, где он возникает, --- это $2d$ уравнение Лапласа, что соответствует евклидовой конформной теории поля, но это явно логарифм из классического комплексного анализа, а не гиперболический.

Вот конкретный пример разницы в стилях наших мышлений. Вы увидели в предложении Игоръ, скорее всего, некую оплошность, а я именно что позитивное содержание. Я понимаю Ваше недоумение и его основания. но попробуйте и Вы мою логику понять. Для меня в отсутствии в современной квантовой механике гиперболического логарифма и присутствие одного эллиптического говорит лишь об одном, а именно, что квантовые физические поля так же есть куда развивать и углублять их понимание, как и классические, которые я предполагаю стоящими за гиперболическим логарифмом и иными гиперболическими функциями.

Цитата:

В $2d$ уравнении Даламбера особенность имеет коразмерность 1, а не 2, поэтому логарифмического поведения там странно ожидать.

Мне термин "коразмерность" ровно ни о чем не говорит. Я логарифм, стоящий за сферически симметричным (в псевдоевклидовом смысле, естественно) вижу именно в двух измерениях. Причем, что в смысле классической геометрии двумерного псевдоевклидова пространства-времени, что в смысле квантовомеханического. Правда для того, что бы Вам меня понять, а мне объясниться, придется потратить еще несколько месяцев, а я уже устал. Скажу только, что этот конкретный пример с логарифмом говорит о возможности (и необходимости) переопределить основное понятие квантовой механики - функцию состояния. Но давайте об этом как ни будь в другой раз. Сейчас я готов говорить только о классическом векторном поле в двумерном пространстве-времени. Тем более, что Выше Вы так же сказали, что почти готовы к этому разговору..

Цитата:

Если я не прав, приведите ссылки.

Двумерная квантовая механика с востребованностью физических интерпретаций таких функций двойной переменной как гиперболический логарифм и прочие из "узкого" класса, думаю, еще не создана, как и та часть классической теории поля, которой соответствуют векторные поля этих функций. Скажу лишь, что основным объектом такой еще не созданной двумерной квантовой механики должно стать не понятие элементарной частицы, а пока отсутствующее как фундаментальное понятие элементарного события. И функция состояния должна описывать не вероятность нахождения частицы в элементе пространственного объема, а плотность вероятности нахождения в элементе пространственно-временнОго объема элементарных событий. Вот с последними гиперболический логарифм и должен оказаться тесно и связаным. Ссылок Вы вряд ли найдете. Эту науку еще создать нужно.. Я именно так понял слова Игоръ. Если он имел ввиду, что такая двумерная конформная квантовая механика уже создана - его и спросите.

[g______d]

Time в сообщении #562365 писал(а):

Думаю, что здесь проблема как раз в отсутствии хорошего определения понятия сходимости последовательности двойных чисел. Ну не будет здесь полного порядка, пока этот пробел бельмом висит.

Отказываясь от стандартного определения сходимости на $\mathbb R^2$, Вы теряете гораздо больше, чем себе представляете. Весь анализ уйдет в топку. Оно перестанет быть многообразием (это можно даже доказать). Вы не сможете по нему интегрировать. Физики никогда не пойдут на отказ от того, чтобы классическое пространство перестало быть многообразием. Вам придется переписывать весь классический анализ в других терминах, он никогда не будет построен и никогда никого не привлечет.

Вас смущает, что базу стандартной топологии образуют евклидовы шары. Но баз у одной и той же топологии может быть много. Можно вообще обойтись без базы. Например, давайте введем сходимость так: пара $(x_n,y_n)$ сходится к паре $(x,y)$, если вещественная последовательность $x_n$ сходится к $x$ (просто в $\mathbb R$), а последовательность $y_n$ сходится к $y$ тоже в $\mathbb R$. Более того, эта сходимость не зависит от выбора базиса. Для любого базиса эта сходимость задает стандартную топологию на $\mathbb R^2$.

-- 21.04.2012, 13:55 --

Time в сообщении #562408 писал(а):

С Вашей точки зрения он не описан. С моей - вполне четко очерчен. Это функции, которые в изотропном базисе представимы в виде пар вещественно-аналитических функций от одной действительной переменной каждая. Что Вас не устраивает в таком определении?

То, что вещественная аналитичность не является следствием никакого уравнения, а требуется дополнительно непонятно зачем.

-- 21.04.2012, 14:01 --

Time в сообщении #562408 писал(а):

Вот конкретный пример разницы в стилях наших мышлений. Вы увидели в предложении Игоръ, скорее всего, некую оплошность, а я именно что позитивное содержание.

Вы заявили, что эта функция используется в мат. физике и является функцией Грина для некоторой конкретной теории. Ничем, кроме слов Игоръ, это не подкрепили (кстати, в его сообщении интонация была скорее вопросительной --- ну да ладно). Я думаю, что с такими высказываниями надо быть осторожнее, особенно если не знаете квантовой механики. Я не сомневаюсь в физической квалификации Игоръ, но именно эту вещь он мог сказать случайно, а Вы просто за ним повторили.

-- 21.04.2012, 14:03 --

Time в сообщении #562408 писал(а):

Цитата:

При этом сразу же можно будет говорить о какой-то физической системе, которая описывается этими уравнениями. Я считаю это требование оправданным, т. к. в комплексном анализе сразу все свойства следовали из одного уравнения.

Неужеле спустя несколько месяцев разговоров мы наконец вплотную приблизились к главному? Вы действительно готовы на основании подробного изучения двумерных скалярных и векторных полей связанных с таким "узким" классом функций двойной переменной сосредоточиться на том, какие именно физические явления в двумерном пространстве-времени им соответствуют? Готовы, хотя бы гипотетически согласиться допустить, что современная физика не предполагала наличия именно такого типа полей и потому их придется изучать "на новенького"? И прежде всего поле, описываемое функцией гиперболического логарифма?

Когда уравнения напишете, выделяющие Ваш класс, тогда это будет вполне вероятно.

-- 21.04.2012, 14:07 --

Time в сообщении #562408 писал(а):

Цитата:

Для $h$-аналитических функций какие-то свойства следуют из гиперболических уравнений Коши-Римана. Но Вам их мало --- Вы хотите, например, вещественной аналитичности.

Не мало, а наоборот, много. Следствия из гиперболических условий Коши-Римана - дают слишком широкий класс функций двойной переменной.

Имелось в виду, что Вам уравнений мало, поэтому функций получается много. Я сказал то же, что и Вы. Сути дела это совершенно, впрочем, не меняет.

-- 21.04.2012, 14:12 --

Time в сообщении #562408 писал(а):

g______d в сообщении #562370 писал(а):

Я еще раз поясню, в чем мне кажется неестественным работа с таким классом функций. В классическом комплексном анализе сразу всё следовало из условий Коши-Римана --- и формула Коши, и принцип аналитического продолжения, и т. д.

Надеюсь, что Вы согласитесь в важности не того, что лично Вам кажется естественным или не естественным, а что конкретно полезного, в частности, для физических приложений можно вытащить из того или иного гипотетически возможного варианта определения класса "хороших" функций двойной переменной.

Я только повторюсь. В физике все хорошее и полезное следует из уравнений. Напишете уравнения, выделяющие Ваш хороший класс (который, кстати, не инвариантен относительно конформных преобразований --- только относительно вещественно аналитических конформных преобразований), будем разговаривать более серьезно. По свойствам уравнений, может быть, даже подскажу (но деанонимизироваться не обещаю). И другие участники форума, если будут написаны уравнения, почти наверняка заинтересуются.

[Time]

Цитата:

Вы сами себе роете математический гроб такими высказываниями. Пифагор что-то говорил о важности двойных чисел? Думаю, если бы он жил наше время, то ответил Вам примерно то же, что и Винберг. Но я не настаиваю.

Меня карьера математика ни сколько не интересует, к тому же роют не гробы, а могилы.
По поводу Пифагора. Вы, похоже, вообще разучились мыслить вне математически строгих понятий. Пифагор говорил: "Все сущее - числа". Двойные, бикомплексные, четверные и т.д. - только их частные случаи.
Думаю, что меня легко мог понять не только Пифагор, но и Г.Вейль. Для этого не так уж много и нужно. Кстати, некоторые понимают, не смотря на мое нежелание говорить на их языке.

g______d в сообщении #562387 писал(а):

Ну в принципе нет. Они даже не против, чтобы лично Вы называли двойные числа Числами. Только что от этого поменяется?

Думаю, что в конце концов, поменяются современенные представления не только о классической геометрии пространства-времени с псевдоримановой на конкретную псевдофинслерову, но и квантовая механика сменит свой основной объект с взаимодействующих элементарных частиц на гиперболические взаимодействия элементарных событий. Более того, и финслерово обобщение ОТО, и финслерово обобщение квантовой механики в такой своей модификации будут уже не как сейчас двумя различными частями одного физического здания, а единой конструкцией. Можно, конечно будет всегда сказать, что Числа тут не при чем. Но это для Вас. Для меня же именно они определяют, как именно устроен Мир.

[g______d]

Time в сообщении #562418 писал(а):

роют не гробы, а могилы.

Тут я соглашусь :)

Time в сообщении #562418 писал(а):

По поводу Пифагора. Вы, похоже, вообще разучились мыслить вне математически строгих понятий. Пифагор говорил: "Все сущее - числа".

Он имел в виду, что все сущее описывается математикой, и не более. В тот момент математика работала в основном с числами.

Time в сообщении #562418 писал(а):

Двойные, бикомплексные, четверные и т.д. - только их частные случаи.

Так считаете только Вы. Все остальные серьезно не воспринимают элементы алгебр, не являющихся простыми, в качестве чисел. Двойные числа --- это устоявшееся название, да. Но это совершенно не важно. Ну хорошо, даже назовем их числами, и что? Неужели Вы прицепились только к высказыванию Пифагора?

-- 21.04.2012, 14:42 --

Я вообще не хотел бы продолжать холивар по поводу того, что считать числами, а что нет. Это не математический вопрос. Лучше давайте вернемся к теории функций.

[kostiani]

Time

Цитата:

Думаю, что в конце концов, поменяются современенные представления не только о классической геометрии пространства-времени с псевдоримановой на конкретную псевдофинслерову, но и квантовая механика сменит свой основной объект с взаимодействующих элементарных частиц на гиперболические взаимодействия элементарных событий. Более того, и финслерово обобщение ОТО, и финслерово обобщение квантовой механики в такой своей модификации будут уже не как сейчас двумя различными частями одного физического здания, а единой конструкцией. Можно, конечно будет всегда сказать, что Числа тут не при чем. Но это для Вас. Для меня же именно они определяют, как именно устроен Мир.

Прошу прощения за то что вмешиваюсь в ваш диалог, но не могли бы вы популярно объяснить ваш метод понимания устройства мира , применяя такой аппарат как "числа" и "их отношения".
Во -первых я понял что при помощи чисел можно определить пространство и его свойства, а последнее -определяет физические явления.
В связи с этим у меня вопрос- сами по себе числа чем являются в физическом мире? Реально существующими явлениями или же простым математическим аппаратом при помощи которого можно эти явления отобразить?

[g______d]

И вот еще. Все-таки, это

Time в сообщении #562408 писал(а):

Только для этого узкого класса. Но он не такой уж и узкий. Он ровно на столько же широк, на сколько широко множество пар вещественно-аналитических функций от одной переменной каждая

или это

Time в сообщении #562408 писал(а):

и ровно на столько же, на сколько широко множество обычных аналитических функций комплексной переменной, для которой Вы не сомневаетесь в справедливости формулы Коши.

?

Все-таки, это разные вещи. Вы можете установить соответствие даже между ними?

При этом аргумент выделения вещественной аналитичности (который я пока даже не признаю, что физический, потому что выдвинут в качестве дополнительного требования) Вас не спасет. По теореме Уитни гладкую функцию можно равномерно приблизить вещественно аналитическими. Поэтому если есть пара гладких функций, для которых нарушается ф-ла Коши, то найдется и пара вещественно аналитических функций.

Наши с Вами сообщения раздуваются до неприличия. Я могу сформулировать конспект вопросов к Вам, которые я считаю важными, и выделить в отдельную тему. Согласны?

[Time]

kostiani
Попробую.
Конечно, числа это, скорее, метафора. Некий своеобразный способ генерировать и сепарировать идеи, которые могли бы быть положены в устройство математических моделей физической реальности. Особенно это важно сейчас, когда, на мой взгляд, в физике, да и в геометрии наблюдается определенный кризис действительно прорывных идей, могущих привести к принципиально новым конструкциям, причем желательно, не входящих в непреодолимую конфронтацию с общепринятыми сегодня. Такие идеи уже вряд ли можно вытащить из головы. Точно так же, уверен, они не могут быть получены из экспериментов или астрофизических наблюдений. На первый взгляд, выходит, что ничего больше и не остается. Однако на данный счет замечательно выразился Эйнштейн:"Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. ...Посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность".
Я целиком разделяю данный тезис, как думаю, и многие другие. Но у других, как правило, нет конкретных предложений, что именно считать "простейшими математически мыслимыми элементами", еще хуже обстоят дела с подтверждениями их успешности и плодотворности.
Но из этого правила мне известны несколько исключений. Если Вы знакомы с историей появления в математике, геометрии и физике кватернионов Гамильтона, то должны знать, что он, открыв эти замечательные объекты, бросил все остальные свои занятия ради данной алгебры, ее геометрических и физических перспектив. А ведь это не рядовой математик, а сам Гамильтон! Как Вы думаете почему? Я полагаю, он кожей почувствовал, что вплотную приблизился к тем самым простейшим объектам, о которых размышлял Эйнштейн.
Сегодня считается, что интуиция Гамильтона обманула. И это правда, но как обычно не только, и не вся. Дело в том, что в своих поисках этот замечательный математик первым в истории прикоснулся к еще одной четырехкомпонентной алгебре, которая на современном языке носит название бикомплексных чисел и является прямой суммой двух комплексных алгебр. Однако он осознанно не стал ее развивать, хотя теоретически и мог бы. В ней нет ничего сверхъестественного. Но для иного решения в то время, как минимум, понадобилось бы знания геометрии Минковского, а еще лучше представления о том, что пространство-время может быть еще и финслеровым, вернее, псевдофинслеровым. Сами понимаете, в 1843 году такие прозрения не могли стать сколь ни будь серьезным руководством к исследованиям. Даже идеи Лобачевского еще не стали общепризнанными, что уж говорить о псевдоевклидовых и псевдофинслеровых пространствах. Думаю, что Гамильтон хоть и не смог правильно выбрать наиболее перспективный из двух вариантов, близость чрезвычайно важной математической конструкции он не мог не почувствовать и именно поэтому оставшиеся 22 года жизни посвятил исследованиям одной из них. Естественно, выбор пал на кватернионы. Заодно получилось так, что он увел в сторону и всех, кто в последующем хотя бы теоретически мог вместо кватернионов пойти в сторону бикомплексной и иных гиперкомплексных алгебр. В результате случилось то, что случилось. Вместо строительства зданий геометрии и физики в тесном единстве с простейшими и содержательными алгебраическими конструкциями, в качестве приоритетных направлений оказались более сложные, но казавшиеся такими очевидными идеи скалярного произведения, бедные на конформные преобразования квадратичные пространства и прочие изыски, которые, чем глубже развивались, тем все дальше уводили физиков и геометров в сторону от действительно простейших математических объектов. Закономерный результат развития всего этого хозяйства мы с вами сейчас и наблюдаем. О существовании богатых на метрически выделенные преобразования (в частности, на бесконечные множества конформных симметрий) четырехмерных финслеровых пространствах сегодня практически никто даже не подозревает. А то, что в таких пространствах роль скалярного произведения и метрического тензора переходит к полилинейным симметрическим формам от многих векторов, сегодня, не до конца осознают даже специалисты по финслеровым пространствам. Математики и физики, если и знают неквадратичные метрические функции, то как правило, в связи с уродливыми по своей сути попытками натянуть на корову седло двухиндексного финслерова метрического тензора, предназначенное исключительно для квадратичных пространств. Есть еще целый ряд обстоятелсьтв аналогичного сорта. В частности, практически никто из геометров не обсуждает, дополнительные к базовым, метрические инварианты, расширяющие такой короткий список состоящий всего из двух параметров: длина и угол. Я знаю лишь о единственной подобной попытке предпринятой П.Рашевским, но она, к сожалению, не закончилась общепризнанным успехом.
Думаю, Гамильтон, если б вдруг ожил, легко разобрался и пересмотрел бы свой старый выбор в пользу варианта бикомплексных чисел. Хотя бы для равновесия и любопытства. Над ним бы не давлели те привычки и традиций, что, благодаря ему самому, увели всех далеко в сторону от иного возможного пути. Но, по понятным причинам, это не возможно.
Теоретически, некоторые современные математики, специализирующиеся на тех же бикомплексных числах, так же могли бы многое исправить, но они как и все, если и знают финслерову геометрию, то никак не в связи со своим основным предметом. Вот и получается, что замечательный и простой математический объект, вот уже почти 170 лет пылится в дальнем углу истории.
Я не физик и не математик. Я почти не знаком с современными теориями, прошедшими со времен Гамильтона долгий путь своего развития. Мне не чего пересматривать и не от чего отказываться. Мне проще, чем остальным практически с чистого листа взглянуть на алгебру бикомплексных чисел и, пусть на элементарном уровне, но разглядеть потенциал этих чисел и их ближайших родственников. Я в буквальном смысле вижу, как и какие фундаментальные взаимодействия, кроме всем известных, автоматически порождаются бикомплексными числами, функциями над ними и связанными с ними и их родственниками геометриеями. Кроме того, у меня есть кое какие личные финансовые средства, которые можно направить в дело тогда, когда собственных знаний принципиально не хватает. А так же есть опыт организации коллективов специалистов, когда перед теми ставятся практически невозможные задачи. Вот этим всем в меру способностей и возможностей я и пытаюсь пользоваться, что бы дать шанс реализоваться тому альтернативному сценарию исторических событий, если б Гамильтон, вдруг, выбрал тогда не кватернионы, а второй вариант, у которого, кстати, самая обычная коммутативная и ассоциативная таблица умножения, а множество этих чисел алгебраически замкнуто и в нем есть естественный аналог основной теоремы алгебры.
То, что наш коллектив развивает главным образом не сами бикомплексные числа, а их полностью гиперболический аналог под названием четверные числа, несущественная мелочь, связанная с пониманием необходимости сперва разобраться с прямыми обобщениями действительных чисел. Перейти потом к комплексным расширениям последних - не должно представлять особой проблемы. Гораздо важнее разобраться, что стОит за гиперболическими вариантами многомерных расширений действительных чисел, тем более, что в метрическом плане пространство четверных чисел является очень близким родственником пространства Минковского, так почитаемого современной релятивистской физикой.
Я уже раз десять имел удовольствие убедиться, что выбранный путь суперпродуктивен. Так бы не было, если б он был ошибочным. Остающиеся не решенными задачи постепенно тают, а подсказываемые этими числами методы оказываются на столько красивыми и эффективными, что даже если в нынешних конструкциях, на взгляд привередливых математиков, чего и не хватает, по мению более прагматичных физиков все обстоит вполне оптимистично. Особое мое удовлетворение вызывает факт, что проглядывающие на основе новой геометрии и алгебры модификации под них ОТО и КМ не являются принципиально необъединяемыми частями, а наоборот предполагают полное единство. Кроме того, практически уверен, что четырех измерений (возможно комплексных) хватит, что бы описать не только объединение гравитации и электромагнетизма, но и вообще всех фундаментальных взаимодействий. Попотеть, конечно, придется, но задача мне представляется на много более перспективной, чем делать примерно то же самое в попытках объединить современную теорию гравитации и современную КМ. Прошу не забывать, что если я ошибаюсь, расплачиваться за промахи мне придется своими кровными, которых мне никто не дарил, и которых никогда не бывает слишком много. Ко всему прочему, я убежденный сторонник выделенной роли четырех измерений и нынешний выбор теории суперструн с 10-ю пространственно-временными измерениями мне представляется очевидной бессмыслицей. Хотя бы потому, что в четырех измерениях имеется локальный максимум дискретных симметрий или, другими словами, количество правильных платоновых тел в четырехмерии ровно в два раза больше, чем в любом другом пространстве с бОльшим числом измерений. Такие факты не бывают случайными.
Вот как то так. Ну а то, что все при этом оказывается связанным с числами или с Числами, можно считать и просто забавным совпадением.. Впрочем, я так не думаю..