Булевы алгебры

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #561999 писал(а):

Зато бесконечных навалом

Например, булева алгебра конечных подмножеств бесконечного множества.

[Профессор Снэйп]

Только надо ещё к кольцевым операциям перейти

[JMH]

Профессор Снэйп в сообщении #561999 писал(а):

А без единицы из четырёх элементов не получится. И вообще все конечные булевы кольца имеют единицу.

А вот это интересно! Я, собственно, пытался решить очередную задачу, которая выглядит так: "Каждое ли булево кольцо имеет единицу?" - хотел поэкспериментировать на примере, без единицы не получилось. Можно где-нибудь посмотреть, как доказывается этот факт?
Большое спасибо!

[Xaositect]

Можно взять соответствие с булевыми алгебрами (ну или просто ввести join как $x\vee y = x + y + xy$ и доказать коммутативность, ассоциативность и поглощение $a\vee ax = a$) и определить $1$ как join всех элементов алгебры.

[Joker_vD]

Можно попытаться явно склеить все-все элементы булева кольца в одну большую кучу, которая внезапно окажется единицей — элементов конечное число, так что должно выгореть.

[Профессор Снэйп]

JMH в сообщении #562310 писал(а):

А вот это интересно! Я, собственно, пытался решить очередную задачу, которая выглядит так: "Каждое ли булево кольцо имеет единицу?" - хотел поэкспериментировать на примере, без единицы не получилось. Можно где-нибудь посмотреть, как доказывается этот факт?
Большое спасибо!

Это очень просто (то, что каждое конечное булево кольцо имеет единицу). Несколько шагов, но каждый из них элементарен.

1) Рассмотрите отношение $x \leqslant y \Leftrightarrow x = x \cdot y$ и докажите, что это частичный порядок.

2) Докажите, что $x, y \leqslant x + y + x \cdot y$.

3) Если для каждой пары элементов найдётся элемент, больший обоих элементов этой пары, то и для любого конечного множества элементов кольца найдётся элемент, больший любого из данного конечного множества. А если кольцо конечно, то, значит, в нём найдётся наибольший. Он и будет единицей

Пример булева кольца без единицы bot уже приводил. Возьмите любое бесконечное множество $X$, через $R$ обозначьте множество всех конечных модмножеств $X$, на $R$ введите операции $x \cdot y = x \cap y$ и $x + y = (x \setminus y) \cup (y \setminus x)$. Теперь тупо проверяйте аксиомы и доказывайте, что единица отсутствует.

Более подробно можете посмотреть здесь (опять самореклама, конечно, но это первое, что на ум приходит ).

[Профессор Снэйп]

Xaositect в сообщении #562317 писал(а):

Можно взять соответствие с булевыми алгебрами (ну или просто ввести join как $x\vee y = x + y + xy$ и доказать коммутативность, ассоциативность и поглощение $a\vee ax = a$) и определить $1$ как join всех элементов алгебры.

Ассоциативность, если её доказывать "в лоб", получается довольно громоздкой

Оптимальный способ её доказательства - вводить частичный порядок и доказывать, что относительно этого порядка введённый "join" будет операцией взятия точной верхней грани двух элементов. Но для существования единицы "точность" не нужна...