Выделение главной части

[Anastasiya_92]

Задача: выделить главную часть вида $C\frac{1}{x^n}$ в выражении $(x+1)^{\frac{2}{3}}-(x-1)^{\frac{2}{3}}$ при $x\to \infty$
Вопрос: можно ли сделать так?
$(x+1)^{\frac{2}{3}}-(x-1)^{\frac{2}{3}}=1+\frac{2}{3}\cdot x+0(x)-(1-\frac{2}{3}\cdot x+0(x))=1+\frac{2}{3}\cdot x-1+\frac{2}{3}\cdot x+0(x)=\frac{4}{3}\cdot x+0(x)$ и главная часть: $\frac{4}{3}\cdot x$?
Или это только при $x\to 0$? Какую замену переменной тогда сделать, чтобы перейти к нулю? и почему главная часть вида $C\frac{1}{x^n}$? Это не одно и то же, что $Cx^n$?

[alcoholist]

Anastasiya_92 в сообщении #561529 писал(а):

Или это только при $x\to 0$?

да

[venco]

Anastasiya_92 в сообщении #561529 писал(а):

Или это только при $x\to 0$?

Да.

Anastasiya_92 в сообщении #561529 писал(а):

Какую замену переменной тогда сделать, чтобы перейти к нулю?

Вынести $x^{2 \over 3}$ за скобку. Разложить внутри скобки как функцию $1\over x$.

Anastasiya_92 в сообщении #561529 писал(а):

и почему главная часть вида $C\frac{1}{x^n}$?

Наверное, так получится, если правильно всё сделаете.

[Anastasiya_92]

Как можно вынести? там же есть корень?
Раскрыть квадрат $(x^2+2x+1)^{\frac{1}{3}}+(x^2-2x+1)^{\frac{1}{3}}$
а потом сделать: $x^{\frac{2}{3}}(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})^{\frac{1}{3}}$? Тогда то, что в скобках стремится к 1 при $x\to 0$? и главная часть $2x^{\frac{2}{3}}$? правильно?

[venco]

Anastasiya_92 в сообщении #561830 писал(а):

Как можно вынести? там же есть корень?
Раскрыть квадрат $(x^2+2x+1)^{\frac{1}{3}}+(x^2-2x+1)^{\frac{1}{3}}$
а потом сделать: $x^{\frac{2}{3}}(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})^{\frac{1}{3}}$? Тогда то, что в скобках стремится к 1 при $x\to 0$? и главная часть $2x^{\frac{2}{3}}$? правильно?

Вы минус потеряли.
И в квадрат незачем было возводить - так сложнее. Оставьте степень $2\over3$.

[Anastasiya_92]

как это не возводить в квадрат? как же тогда выносить?
Да, минус действительно забыла. Но если добавить минус то вообще получается 0! так же не должно быть. Помогите разобраться, пожалуйста

[venco]

Anastasiya_92 в сообщении #561843 писал(а):

как это не возводить в квадрат? как же тогда выносить?

Так же, только в квадрат не возводить.

Anastasiya_92 в сообщении #561843 писал(а):

Да, минус действительно забыла. Но если добавить минус то вообще получается 0!

Ноль получится только если слева и справа от знака минус одинаковые выражения. А у вас - разные, значит, что-то останется, а что именно останется - вам и надо посчитать.

[Anastasiya_92]

$x^{\frac{2}{3}}(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})^{1/3}-x^{\frac{2}{3}}(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})^{1/3}$ То что в первой скобке стремится к 1 при $x\to \infty$ то, что во второй тоже к 1, т.к. $\frac{2}{x},\frac{1}{x^2} \to 0 $ остается только $x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}$! Равно нулю. Где ошибка?)

[ewert]

Anastasiya_92 в сообщении #562145 писал(а):

Где ошибка?)

Самая главная ошибка -- в том, что Вы нечаянно забыли, что Вам, собственно, нужно. Вы хотели выделить главные части, а потом вдруг зачем-то гордо их проигнорировали. На этом фоне то, что ещё и степени потеряны -- уже мелочи.

[Anastasiya_92]

степени подправила.
Всё равно не понимаю, где главная часть. Ведь то, что в скобках стремится к единице, а при вычитании получается ноль. Где же тогда главная часть?

[venco]

Единицы вычитаются, это верно, но ведь кроме единиц там ещё что-то есть, не так ли?

[Anastasiya_92]

остальное стремится к нулю. $\frac{1}{x^2}, \frac{2}{x} \to 0$ при $x\to \infty$, значит их можно вообще не учитывать, разве нет?

[venco]

Anastasiya_92 в сообщении #562172 писал(а):

остальное стремится к нулю. $\frac{1}{x^2}, \frac{2}{x} \to 0$ при $x\to \infty$, значит их можно вообще не учитывать, разве нет?

Т.к. предыдущий по величине член (1) сокращается, то главным становится следующий, точнее - первый ненулевой. Ваша задача как раз в том, чтобы определить, какой именно член оказывается главным.

[alcoholist]

Anastasiya_92 в сообщении #562172 писал(а):

остальное стремится к нулю. $\frac{1}{x^2}, \frac{2}{x} \to 0$ при $x\to \infty$, значит их можно вообще не учитывать, разве нет?

это и есть

Anastasiya_92 в сообщении #561529 писал(а):

главная часть вида $C\frac{1}{x^n}$

не возводите в квадрат... оставьте степень $2/3$ -- прислушайтесь, наконец, к разумному совету

[Anastasiya_92]

Я не понимаю, что значит "оставить степень $\frac{2}{3}$".
Это имеется ввиду? $x^{\frac{2}{3}}(1+\frac{1}{x})^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}(1-\frac{1}{x})^{\frac{2}{3}}$ собрав при $x^{\frac{2}{3}}(1-\frac{1}{x^2})^{\frac{2}{3}}$?