Уравнение седьмой степени. Найти корень.

[Vvp_57]

Уравнение $\LARGE{x^7+14x^4+35x^3+14x^2+7x+88=0}$ имеет один действительный корень. Известно, что он выражается в радикалах. Найдите это выражение.

[maxal]

Radiroot находит, но выражение зубодробильное.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #561997 писал(а):

Radiroot находит, но выражение зубодробильное.

maxal, а вы можете хотя б в оффтопике привести то что дает radiroot? И что подразумевается под
таинственной $\zeta_n$, пробовал подставлять значения корня из седьмой степени из единицы, в теме
topic54900.html, но так и не получилось найти значение корня.
В "моем" уравнении корень есть алгебраическая сумма четырех радикалов седьмой степени.

[maxal]

Ну вот немного причесанное мной выражение: r.pdf
Не думаю, что оно кому-либо может понравиться ;)

А $\zeta_n$ - это примитивный корень $n$-й степени из единицы.

[nnosipov]

Vvp_57 в сообщении #561690 писал(а):

Найдите это выражение.

$\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}$

-- Пт апр 20, 2012 10:50:30 --

maxal в сообщении #562011 писал(а):

Ну вот немного причесанное мной выражение: r.pdf
Не думаю, что оно кому-либо может понравиться ;)

Н-да ... Всё-таки задача выражения только в вещественных радикалах --- более тонкая. Интересно было бы узнать современное состояние дел в этой области.

[temp03]

nnosipov в сообщении #562016 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #561690 писал(а):

Найдите это выражение.

$\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}$

Красиво! Кажется должно быть.

$\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}$

[Vvp_57]

temp03 в сообщении #562131 писал(а):

nnosipov в сообщении #562016 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #561690 писал(а):

Найдите это выражение.

$\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}$

Красиво! Кажется должно быть.

$\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}$

Нет, нет если взять $-\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}$,
то получиться уравнение $\LARGE{x^7+14x^4+7x^3+42x^2+119x+92=0}$

[temp03]

Нет. У вас 4 минуса, а у меня три.

[nnosipov]

temp03, три минуса не приведут к уравнению 7-й степени (будет уравнение 14-й степени). Да и приближённо можно вычислить.

[temp03]

я в MathCad 11.0 проверял. $\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}\sim-1.81$

[nnosipov]

temp03 в сообщении #562262 писал(а):

я в MathCad 11.0 проверял. $\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}\sim-1.81$

А я в Maple 15: $\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[7]{3-2\sqrt{2}}\approx -0.04$. И кто же из них прав? Вы учли, что $\sqrt[7]{1-\sqrt{2}}=-\sqrt[7]{\sqrt{2}-1}$?

[temp03]

Да. Не учёл. Шо то замотался совсем, от $i$ избавился, а знаки не поменял.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #562011 писал(а):

Ну вот немного причесанное мной выражение: r.pdf
Не думаю, что оно кому-либо может понравиться ;).....

maxal, спасибо. Да действительно выражение "тяжелое".
Наверное это связано с тем что в этом уравнении коэффициент при икс в
четвертой степени не равен нулю. Впрочем это гипотеза.
У меня просьба, создайте пожалуйста еще один pdf файл, но для уравнения:
$\LARGE{x^7+14x^4+7x^3+42x^2+119x+92=0}$
Интересно было бы сравнить, ведь корни в уравнениях различаются мало.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #562335 писал(а):

У меня просьба, создайте пожалуйста еще один pdf файл, но для уравнения:
$\LARGE{x^7+14x^4+7x^3+42x^2+119x+92=0}$
Интересно было бы сравнить, ведь корни в уравнениях различаются мало.

Лень причесывать:

w1 := (-94799712 + 99121512E(7) + 113220184E(7)^3-81985232E(7)^4-24989608E(7)^5 + 165482408E(7)^6)^(1/2);
w2 := (-15507297-5693940E(7) + 9321816E(7)^3-49363496E(7)^4 + 33429256E(7)^5-31299156E(7)^6 + (1001136575273666607/78419746772297)*w1 + (344947070687259907/78419746772297)E(7)*w1 + (500441326226752653/78419746772297)E(7)^3*w1 + (806151799606493213/78419746772297)E(7)^4*w1 + (156952651969866691/78419746772297)E(7)^5*w1 + (1024623485373539836/78419746772297)E(7)^6*w1)^(1/7);

a := (-48515873513295338505/10405981593878895312289)*w2^2 + (301715115122223034719/10405981593878895312289)E(7)*w2^2 + (659166563253115378159/10405981593878895312289)E(7)^3*w2^2 + (823807381811219579919/10405981593878895312289)E(7)^4*w2^2 + (655172742006741382167/10405981593878895312289)E(7)^5*w2^2 + (313310962933991570767/10405981593878895312289)E(7)^6*w2^2 + (6341697652051159842893355868446/816034441509166492158183271588857833)*w1*w2^2 + (3621899618813262119215348859067/116576348787023784594026181655551119)E(7)*w1*w2^2 + (41772023205117124894022218951937/816034441509166492158183271588857833)E(7)^3*w1*w2^2 + (44230874313525759127396157764373/816034441509166492158183271588857833)E(7)^4*w1*w2^2 + (59715641866508992911453597097227/1632068883018332984316366543177715666)E(7)^5*w1*w2^2 + (411202756585225627630441371143/33307528224863938455436051901586034)E(7)^6*w1*w2^2 + (1455433686791915669724877350956/1061511198299462378937428870820337)*w2^3 + (13751204203014887230732303217208/1061511198299462378937428870820337)E(7)*w2^3 + (26824078861861105637966995438091/1061511198299462378937428870820337)E(7)^3*w2^3 + (31116009072734333342003223117420/1061511198299462378937428870820337)E(7)^4*w2^3 + (23101303186577395363343214199776/1061511198299462378937428870820337)E(7)^5*w2^3 + (9466464345859920676984749709808/1061511198299462378937428870820337)E(7)^6*w2^3(371540092131256271589216175837398663525838/83243439366601385605908818809037143822335804089)*w1*w2^3 + (1064103830318213030584836244641620954493394/83243439366601385605908818809037143822335804089)E(7)*w1*w2^3 + (1552506121394447348862113305969958704376870/83243439366601385605908818809037143822335804089)E(7)^3*w1*w2^3 + (1471506826487098844282889395638000205210706/83243439366601385605908818809037143822335804089)E(7)^4*w1*w2^3 + (878833368996187295231734886914511910490242/83243439366601385605908818809037143822335804089)E(7)^5*w1*w2^3 + (4560847106836337665662805353523280329854/1698845701359211951140996302225247833108893961)E(7)^6*w1*w2^3 + (354131529564586410103705061150185690386096/108284452932146354533479098362717578834419521)*w2^4 + (1458347816573578454366418137247816376657584/108284452932146354533479098362717578834419521)E(7)*w2^4 + (2470883547688436831283085829423004083613776/108284452932146354533479098362717578834419521)E(7)^3*w2^4 + (2628798525970545198981442682549505710280256/108284452932146354533479098362717578834419521)E(7)^4*w2^4 + (1815870417323425101681046305095649618813424/108284452932146354533479098362717578834419521)E(7)^5*w2^4 + (649200298439928175899044474649891157099517/108284452932146354533479098362717578834419521)E(7)^6*w2^4 + (42946611278670078398363473692319476520381549505126898/8491639378315630503479212557055635630161852875347358809737)*w1*w2^4(104134312922173258571156892239642995288116373301011922/8491639378315630503479212557055635630161852875347358809737)E(7)*w1*w2^4 + (137423146133181770885406174716006850877522637273795946/8491639378315630503479212557055635630161852875347358809737)E(7)^3*w1*w2^4 + (117839596940075628978507358420631177430958042042617169/8491639378315630503479212557055635630161852875347358809737)E(7)^4*w1*w2^4 + (59995134214150649384517364608219722996187912716772413/8491639378315630503479212557055635630161852875347358809737)E(7)^5*w1*w2^4 + (7569725184199546740735491399676130262195285654689796/8491639378315630503479212557055635630161852875347358809737)E(7)^6*w1*w2^4 + (-20218735559347453885464043642012305079704117909644972/11046065991200535633146552321780220035467205727227221393)*w2^5 + (-61736847582324498013775819584197385483315070540574321/11046065991200535633146552321780220035467205727227221393)E(7)*w2^5 + (-93211499273390479286489081996845290807203707647709088/11046065991200535633146552321780220035467205727227221393)E(7)^3*w2^5 + (-90921391188472549248197299782616164001497479916570940/11046065991200535633146552321780220035467205727227221393)E(7)^4*w2^5 + (-56627009666630747996745363315884740058126318957604004/11046065991200535633146552321780220035467205727227221393)E(7)^5*w2^5(-16201214645288256059935715186043027907496501668998572/11046065991200535633146552321780220035467205727227221393)E(7)^6*w2^5 + (-1800713365150386878299466355678365998902154547368285211660682512/866229697860027866221501881721898041459347857190120567445227578149721)*w1*w2^5 + (-7805583977632216973122917683359187958783925841624857694057201661/1732459395720055732443003763443796082918695714380241134890455156299442)E(7)*w1*w2^5 + (-1349402998232893959740055379405533604176829363093904484919980979/247494199388579390349000537634828011845527959197177304984350736614206)E(7)^3*w1*w2^5 + (-7288273590079787096365804333997457317294623832719602408286344747/1732459395720055732443003763443796082918695714380241134890455156299442)E(7)^4*w1*w2^5 + (-2955865572666679314552580968962490802066476315804745363209409271/1732459395720055732443003763443796082918695714380241134890455156299442)E(7)^5*w1*w2^5 + (287570331311681599581948606593911786014954922269591042080679021/1732459395720055732443003763443796082918695714380241134890455156299442)E(7)^6*w1*w2^5;

[Vvp_57]

Ничего страшного, сам "причешу" . Спасибо, maxal.