Объясните простыми словами, почему важна задача Лагранжа

[danbst]

Под "задачей Лагранжа" имею в виду:

$\displaystyle I(x(\cdot)) = \int_{t_0}^T L(t,x(t),x'(t))\, \mathrm{d}t \rightarrow inf $
То-есть, поиск функции $x(\cdot)$, при которой функционал достигает экстремума.

Так вот, не могу понять, почему так важен именно этот вариант задачи оптимизации. Изучая сейчас т. оптимального управления, стыкаюсь с этим интегралом, но не могу даже представить, какие реальные задачи можно свести к уравнению выше.

[alcoholist]

(Оффтоп)

фас!

[danbst]

И еще один терминологический вопрос по данной тематике. В задаче Больца
$\displaystyle I(x(\cdot)) = \int_{t_0}^T L(t,x(t),x'(t))\, \mathrm{d}t +l(x(t_0),x(T))\rightarrow extr $
фигурируют "условия трансверсальности"
$\hat{L}_{\dot{x}} (t_0) =\hat{l}_{x(t_0)}, \hat{L}_{\dot{x}} (T)=-\hat{l}_{x(T)}$
Почему условия называются именно "трансверсальности"? Насколько я понял, "трансверсальность" - это пересечение, но не соприкасание. Что в данной задаче должно пересекатся?

[мат-ламер]

danbst в сообщении #561373 писал(а):

Так вот, не могу понять, почему так важен именно этот вариант задачи оптимизации

Попробуйте почитать Ландау - Лифшиц. Курс теоретической физики. т.1. Механика.

[danbst]

спасибо!

[Ales]

danbst в сообщении #561373 писал(а):

Под "задачей Лагранжа" имею в виду:

$\displaystyle I(x(\cdot)) = \int_{t_0}^T L(t,x(t),x'(t))\, \mathrm{d}t \rightarrow inf $
То-есть, поиск функции $x(\cdot)$, при которой функционал достигает экстремума.

Так вот, не могу понять, почему так важен именно этот вариант задачи оптимизации. Изучая сейчас т. оптимального управления, стыкаюсь с этим интегралом, но не могу даже представить, какие реальные задачи можно свести к уравнению выше.

Вся механика без трения сводится к этой задаче: движение планет, полеты в космосе, маятники и гироскопы.
И ещё куча всего. Это, наверное, самая фундаментальная задача.

Но это не совсем задача оптимизации. Это более общая задача поиска экстремали.

[danbst]

Да, в выше упомянутой книге прямо написано, что это уравнение фундаментального "принципа наименьшего действия". Соответственно, оптимизация траектории практически всегда подразумевает оптимизацию некоего интеграла от времени, переменной и ее первой производной (скорости).

Но вот с условиями "трансверсальности" пока не разобрался. Что значит терминант в задаче Больца в физическом/геометрическом смысле?