Heights and equal angles

[ins-]

In the acute-angled triangle ABC (AC>BC) AA1 and BB1 are the heights through the vertices A and B. M1 and M2 are the middles of AA1 and BB1 respectively. AA1 and BB1 intersects at the point H. AM2 and BM1 intersects at the pont M. Prove that <ACM=<BCH.

[Dave]

Пусть $M_1N_1$, $M_2N_2$, $B_1B_3$, $A_1A_3$, $MM_3$, $CC_1$ - высоты, опущенные на сторону $AB$ ($CC_1$ проходит через точку $H$); $MB_2$, $MA_2$ - высоты, опущенные из точки $M$ на стороны $AC$ и $BC$ соответственно. Пусть также $\alpha=\angle ACM$, $\beta=\angle BCH=\angle BAH$, $\gamma=\angle ACB$. Тогда, в силу подобия получающихся треугольников:

$$\frac {\sin \alpha} {\sin (\gamma-\alpha)}=\frac {\sin \angle ACM} {\sin \angle BCM}=\frac {\sin \angle MCB_2} {\sin \angle MCA_2}=\frac {\frac {MB_2} {MC}} {\frac {MA_2} {MC}}=\frac {MB_2} {MA_2}=$$

$$=\frac {\frac {B_1M_2} {AM_2} {AM}} {\frac {A_1M_1} {BM_1} {BM}}=\frac {B_1M_2 \frac {MM_3} {M_2N_2}} {A_1M_1 \frac {MM_3} {M_1N_1}}=\frac {\frac {M_1N_1} {AM_1}} {\frac {M_2N_2} {BM_2}} =\frac {\sin \angle BAH} {\sin \angle ABH}=\frac {\sin \beta} {\sin (\gamma-\beta)},$$

т.к. $\angle ABH=\angle AHB_1-\angle BAH=(\pi-\angle A_1HB_1)-\beta=\angle A_1CB_1-\beta=\gamma-\beta$. Итак, $\frac {\sin \alpha} {\sin (\gamma-\alpha)}=\frac {\sin \beta} {\sin (\gamma-\beta)}$, что возможно только при $\alpha=\beta$, потому что функция $f(x)=\frac {\sin x} {\sin (\gamma-x)}$ - строго возрастающая при $x \in (0,\gamma)$.

[ins-]

Thank you for the excellent solution. Next time I'll try to "discover" a more beautiful problem.

[Dave]

Решение №2.
Проведём через вершину $C$ прямые, параллельные высотам $AA_1$ и $BB_1$, до пересечения с прямой $AB$. Пусть $CA_2 \parallel AA_1$, $CB_2 \parallel BB_1$, точки $A_2$ и $B_2$ принадлежат прямой $AB$. Продлим также прямые $BM_1$ и $AM_2$ до пересечения с прямыми $CA_2$ и $CB_2$ в точках $A_3$ и $B_3$ соответственно. Т.к. $AM_1=M_1A_1$, то $A_2A_3=A_3C$. Пусть $CC_1$ - третья высота в треугольнике $ABC$ (проходящая через точку $H$), $D$ - середина этой высоты. Т.к. $\triangle BCA_2 \sim \triangle BC_1C$, то и $\triangle BA_2A_3 \sim \triangle BCD$, стало быть $\angle ABM=\angle CBD$. Аналогично доказывается, что $\angle BAM=\angle CAD$.
Из последних двух равенств углов следует, что точки $M$ и $D$ являются изогонально сопряжёнными в треугольнике $ABC$, откуда следует, что $\angle ACM=\angle BCD=\angle BCH$.

[ins-]

"изогонально сопряжёнными" can you send a link describing what does it means?

[Dave]

Isogonal conjugate

[ins-]

Thank you very much for the solution. I hope you like the problem.