Взятие по частям

[bigarcus]

$$ \int x^2 e^{Ax^2}dx=\int x^2 d(e^{Ax^2})=x^2 e^{Ax^2}-\int e^{Ax^2}dx $$

Правильно? Нет? Где ошибка?

[samson4747]

Мне кажется под дифференциал Вы внесли неверно.
$\int x^2 e^{Ax^2}dx\not=\int x^2 d(e^{Ax^2})$

[bigarcus]

Спасибо, ошибся значит. Проверка вроде такая: дифференцируешь функцию, стоящую под знаком дифференциала - получаешь исходный вариант. Да?

$$ \frac{1}{2Ax}\frac{d}{dx}e^{Ax^2}=e^{Ax^2} $$

[alcoholist]

bigarcus

Этот интеграл при $A\ne 0$ не выражается через элементарные функции, только через стандартную функцию ошибок $\operatorname{erf}$

[bigarcus]

Тогда вроде

$$ \int x^2de^{Ax^2}=\intx^2\frac{1}{2Ax}de^{Ax^2}=\frac{1}{2A}\int xde^{Ax^2} $$

Правильно?

-- Чт апр 19, 2012 09:40:16 --

alcoholist
На самом деле у меня там от $-\infty$ до $+\infty$. его вроде после замены к Гауссову интегралу свести можно и проинтегрировать.

[alcoholist]

bigarcus в сообщении #561732 писал(а):

Правильно?

теперь по частям... ну и $A<0$

[bigarcus]

Почему $A<0$?

-- Чт апр 19, 2012 09:48:23 --

может $A$ не равно нулю?

[alcoholist]

bigarcus в сообщении #561740 писал(а):

Почему $A<0$?

если $A>0$, то интеграл расходится

[bigarcus]

Спасибо.

-- Чт апр 19, 2012 10:05:17 --

Еще раз с самого начала и с проделыванием по частям. Я чуть изменю интеграл, чтобы про $A<0$ можно было забыть. Дело в том что я за $A$ обозначил целое выражение, постоянное и со знаком минуса. Короче я теперь знак минуса в самом начала вынесу.

$$ \int x^2e^{-Bx^2}dx=\int x^2\left(-\frac{1}{2Bx}\right)de^{-Bx^2}=-\frac{1}{2B}\int xd e^{-Bx^2}=-\frac{1}{2B}xe^{-Bx^2}-\left(-\frac{1}{2B}\right)\int e^{-Bx^2}x $$

Правильно?

-- Чт апр 19, 2012 10:15:44 --

Проверьте пожалуйста.

-- Чт апр 19, 2012 10:36:26 --

ой я сейчас перепишу в бесконечных пределах

-- Чт апр 19, 2012 10:47:41 --

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2e^{-Bx^2}dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2\left(-\frac{1}{2Bx}\right)de^{-Bx^2}=-\frac{1}{2B}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xd e^{-Bx^2}= $$ $$ =\underbrace{\left. \left(-\frac{1}{2B}xe^{-Bx^2}\right) \right |^{+\infty}_{-\infty}}_{\text{что с этим делать?}}-\underbrace{\left(-\frac{1}{2B}\right)\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-Bx^2}x}}_{\text{тут понятно, это гауссов}} $$

[ИСН]

Непонятную часть посчитать, тупо подставив x. А поскольку подставить бесконечность просто так нельзя, надо вспомнить, как находят пределы.

[bigarcus]

Ага. По Ньютону-Лейбницу, да ещё $\infty$. Щас думаю...

-- Чт апр 19, 2012 10:54:26 --

А по частям я верно взял?

-- Чт апр 19, 2012 11:01:06 --
В непонятной части значит с пределами разобраться надо

$$ \left. \left(-\frac{1}{2B}xe^{-Bx^2}\right) \right |^{+\infty}_{-\infty}=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{2B}xe^{-Bx^2}\right)-\lim_{x\to-\infty}\left(-\frac{1}{2B}xe^{-Bx^2}\right) $$

[ИСН]

Вроде всё так.

[bigarcus]

Спасибо!

-- Чт апр 19, 2012 11:27:46 --

... чего-то уже кучу примеров пересмотрел с решениями, не нашел пока похожих пределов. смотрю учебник и решебник еще

[alcoholist]

bigarcus в сообщении #561765 писал(а):

не нашел пока похожих пределов

чему равен предел

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x} $$

[bigarcus]

интуитивно нулю, что ли. такого не нашёл в таблицах.

-- Чт апр 19, 2012 11:58:49 --

то есть они оба нулю равны

$$ \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{2B}xe^{-Bx^2}\right)=0\qquad\text{и}\qquad\lim_{x\to-\infty}\left(-\frac{1}{2B}xe^{-Bx^2}\right)=0 $$

правильно?
было бы здорово конечно

-- Чт апр 19, 2012 12:17:17 --

проверьте пожалуйста