Взять интеграл

[CBst]

Здравствуйте.

Помогите взять интеграл:
\int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{- \frac{(y-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \frac{\sigma_0^{2m} (m-1)^m}{\sigma^{2(m+1)} \Gamma(m)} e^{- \frac{(m-1) \sigma_0^2}{\sigma^2}} d \sigma^2

\sigma_0^2; m; \Gamma(m); \mu; \pi; - это все константы.

Не пойму, как после вынесения всех константных множителей справиться с переменной одновременно и в знаменателе, и в экспоненте. Отбросив все константы, получается такой интеграл:
\int\limits_{0}^{\infty} e^{- \frac{(y-\mu)^2+2(m-1) \sigma_0^2}{2 \sigma^2}} \frac{1}{(\sigma^{2})^{(m+1)+0,5}} d \sigma^2

Наведите, пожалуйста.

[Vince Diesel]

После замены $t=1/\sigma^2$ получится почти гамма-функция.

[alcoholist]

CBst

Вы и вправду по дисперсии интеграл вычисляете?

[--mS--]

Я отвечу. Да, причём очевидно даже, какая задача решается, только уж очень "в лоб". Судя по интегралу, ищется (только это ещё впереди) УМО $\mathsf E(\sigma^2 | X=y)$, где $X\sim \textrm N_{\mu, \sigma^2}$, а $\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}$ имеет гамма распределение с параметрами $\alpha=m-1$, $\lambda=m$. Пока данный интеграл есть просто нормирующая постоянная при условной плотности распределения $\sigma^2$ при фиксированном $X=y$.

Я бы сказала, что ищется байесовская оценка, только выборки не видно. Впрочем, её и завести недолго.

[CBst]

Vince Diesel в сообщении #560101 писал(а):

После замены $t=1/\sigma^2$ получится почти гамма-функция.

Такс, сейчас попробую. Получается:
-\int\limits_{0}^{\infty} e^{- \frac{(y-\mu)^2+2(m-1) \sigma_0^2}{2}t} t^{(m-0,5)} d t
А инструкция по взятию "почти гамма функции" есть где-нибудь?

alcoholist в сообщении #560428 писал(а):

CBst

Вы и вправду по дисперсии интеграл вычисляете?

Да. Это формула полной вероятности. Дисперсия - случайная величина здесь.

--mS-- в сообщении #560530 писал(а):

Я отвечу. Да, причём очевидно даже, какая задача решается, только уж очень "в лоб". Судя по интегралу, ищется (только это ещё впереди) УМО $\mathsf E(\sigma^2 | X=y)$, где $X\sim \textrm N_{\mu, \sigma^2}$, а $\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}$ имеет гамма распределение с параметрами $\alpha=m-1$, $\lambda=m$. Пока данный интеграл есть просто нормирующая постоянная при условной плотности распределения $\sigma^2$ при фиксированном $X=y$.

Я бы сказала, что ищется байесовская оценка, только выборки не видно. Впрочем, её и завести недолго.

Да, это для байесовского метода оценки. Просто нужно вывести апостериорную плотность для y.

[Vince Diesel]

CBst в сообщении #560642 писал(а):

А инструкция по взятию "почти гамма функции" есть где-нибудь?

Замену сделать

$$ \int_0^\infty e^{- at}t^n\,dt= a^{-n-1}\int_0^\infty e^{- y}y^n\,dy=a^{-n-1}\Gamma(n+1). $$

[--mS--]

CBst в сообщении #560642 писал(а):

Да, это для байесовского метода оценки. Просто нужно вывести апостериорную плотность для y.

Апостериорная плотность для $y$ есть плотность нормального закона, которая дана. А выводите Вы апостериорную плотность для $\sigma^2$, а не для $y$. А вот если бы Вы выводили апостериорную плотность для $\frac{1}{\sigma^2}$, то и нормирующей постоянной считать бы не пришлось - было бы сразу видно, что апостериорное распределение этой величины есть некоторое гамма-распределение.

[CBst]

Спасибо за ответы. Но вот в чем беда.
У меня есть ответ (известен):
$f(y)=(1+ \frac { (y - \mu)^2}{ \sigma_0^2(2m-2)})^{-(m+0.5)} \Gamma (m) \sqrt {(2m-2) \pi } \sigma_0$
Пишут, что это t-распределение. Но разве это плотность от t?
Вопрос, верен ли ответ? Может чего-то я не понимаю.

[--mS--]

Вполне себе плотность нецентрального распределения Стьюдента. То, что написано, похоже на $f(t)=\frac{1}{\sigma_0}t_m\left(\frac{y-\mu}{\sigma_0}\right)$. Константы, конечно, проверить надо, и возможно в степени не $-(m+0,5)$, а $-m+0,5$.