Электростатика

[UnKaiF]

А на плоскости можно получить тот же эффект компенсации, как и у сферы ? Т.е. во что преобразуется закон обратных квадратов если рассматривать не трехмерные заряды в плоскости, а плоские заряды в плоскости ?

[Munin]

Потенциал будет пропорционален логарифму, а градиент потенциала - напряжённость поля - минус первой степени расстояния. И вообще, если у нас пространство размерности $n,$ то $E\sim 1/R^{n-1}.$ По закону Гаусса.

[UnKaiF]

Спасибо большое всем !

P.S. Ччёрт ! Я не увидел своей ошибки когда составлял плоскую модель, а затем еще и на 3 измерения обобщить пытался.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Хотя казалось бы — берем равномерно заряженную сферу, на пробный заряд внутри нее силы не действуют, проводим плоскость через пробный заряд, верхняя и нижняя полусферы создают одинаковые по модулю силы, отбрасываем их, остается заряженная окружность на плоскости...

[rustot]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #561555 писал(а):

[off]Хотя казалось бы — берем равномерно заряженную сферу, на пробный заряд внутри нее силы не действуют, проводим плоскость через пробный заряд, верхняя и нижняя полусферы создают одинаковые по модулю силы, отбрасываем их, остается заряженная окружность на плоскости...

за вычетом колечка - совсем не равные. а если бесконечно малое колечко то там и силы стремятся к нулю

[мат-ламер]

Кое-что осталось мне непонятным. В прошлом своём сообщении пытался поставить вопрос о силовых линиях. Как расположены на круге силовые линии от равномерно заряженной окружности - границы этого круга? Если внутри окружности есть поле, то единственное их расположение - они выходят из окружности и сходятся в центре. Тогда по идее в центре должен находиться заряд. Этому парадоксу можно найти объяснение. Линии, направленные к центру, постепенно отклоняются вверх и вниз. И по дороге к центру их становится всё меньше и меньше. Ну хорошо, возьмём теперь бесконечный цилиндр, и пусть у него равномерно заряжена поверхность. Тут силовым линиям деваться некуда. И значит, либо они сходятся в оси цилиндра, и эта ось следовательно заряжена. Либо внутри цилиндра силовых линий, и следовательно поля, нет. Но цилиндр есть бесконечная сумма колечек. И если в колечке на заряд действует сила, то суммируя эти силы, получаем, что и внутри цилиндра на заряд должна действовать сила. Далее, рассмотрим металический заряжённый очень тонкий диск. Где скопятся заряды? По идее на внешней окружности этого диска. Если они создают поле внутри диска, то в метале потечёт ток. Куда? Свободные электроны этого тока скопятся в центре? Устойчиво ли это положение? Вообщем у меня есть пока непонятки.

[rustot]

в 3д они не сойдутся в точке а свернут в сторону оси кольца. на достаточно большом расстоянии все превратится в радиально расходящееся поле точечного заряда. ну а в проекции 3-мерного поля на 2d могут происходить любые чудеса

[Munin]

мат-ламер
Всё правильно. 3-мерная задача с цилиндром в точности совпадает с 2-мерной задачей с 2-мерным уравнением Лапласа. Поэтому в физике поле от заряженной нити - логарифм, а поле от заряженной плоскости - линейная функция - это функции Грина для 2-мерного и 1-мерного уравнений Лапласа соответственно. И мы можем создать физические модели для низкоразмерных аналогов теоремы об отсутствии поля в сфере: поле в цилиндре и поле между двумя равно заряженными плоскостями.

мат-ламер в сообщении #561592 писал(а):

И если в колечке на заряд действует сила, то суммируя эти силы, получаем, что и внутри цилиндра на заряд должна действовать сила.

Тут прогал в логике. Одни колечки действуют в одну сторону, другие в другую, и суммарная сила может обращаться в ноль. По сути так и происходит: пока точка близко к плоскости колечка, сила имеет составляющую, направленную к оси, а когда точка отходит дальше от плоскости колечка, возникает сила с составляющей от оси. Интеграл по всем колечкам считать - техническое развлечение.

мат-ламер в сообщении #561592 писал(а):

Далее, рассмотрим металический заряжённый очень тонкий диск. Где скопятся заряды? По идее на внешней окружности этого диска.

Нет, на плоскости этого диска.

[UnKaiF]

Munin в сообщении #561696 писал(а):

пока точка близко к плоскости колечка, сила имеет составляющую, направленную к оси, а когда точка отходит дальше от плоскости колечка, возникает сила с составляющей от оси.

Надо будет на досуге построить всё-таки силовые линии. Интересно.

[Munin]

В плоскости, перпендикулярной колечку.

[obar]

мат-ламер в сообщении #561592 писал(а):

Далее, рассмотрим металический заряжённый очень тонкий диск. Где скопятся заряды? По идее на внешней окружности этого диска.

Munin в сообщении #561696 писал(а):

Нет, на плоскости этого диска.

Если интересно, то распределение заряда по поверхности диска радиуса $R$ будет таким

$$ \sigma(r)=\frac{q}{2\pi R\sqrt{R^2-r^2}}\,. $$

[UnKaiF]

Вот обещаная картина поля в плоскости перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через её центр.



К моему сожалению интегралы вида
$\begin{document} \dispSFinmath{ \int \frac{x-\cos(\varphi )}{{{({z^2}+{{(x-\cos(\varphi ))}^2}+{{\sin}^2}(\varphi ))}^{3/2}}}\DifferentialD \varphi } \end{document}$
я брать аналитически не умею, так что пришлось численно...
Может кто подскажет как ?

[rustot]

я так понимаю длина стелок от величины поля тут не зависит

[UnKaiF]

Совершенно верно. Пришлось нормировать, - а то плохо видно было.