Булевы алгебры

[JMH]

Требуется доказать, что в любом булевом кольце, с единицей или без, содержащем более двух элементов, имеются делители нуля.

С какой стороны за это браться? Заранее большое спасибо!

[Joker_vD]

Это настолько простое упражнение, что даже и не знаешь, как подсказать...

(Спойлер)

Запишите самое главное равенство для элементов булевых колец и перенесите там все в одну сторону.

[alcoholist]

JMH в сообщении #561350 писал(а):

С какой стороны за это браться?

чему в булевом кольце равно $x+x$?

[Профессор Снэйп]

По-моему, сумма $x+x$ здесь не при чём. Ну то есть она при делах, конечно, но довольно далеко. В булевом кольце $2 = 0$, так что $0 = x + x = 2x$ ничему не противоречит

На самом деле надо взять $x \neq y$, отличные от нуля (это возможно, поскольку в кольце более двух элементов) и рассмотреть пару произведений: $x(y + xy)$, $y(x + xy)$.

[alcoholist]

Профессор Снэйп в сообщении #561404 писал(а):

В булевом кольце $2 = 0$, так что $0 = x + x = 2x$ ничему не противоречит

так я только к этому и спросил... намекнул:)

-- Ср апр 18, 2012 11:49:16 --

Профессор Снэйп в сообщении #561404 писал(а):

рассмотреть пару произведений: $x(y + xy)$, $y(x + xy)$.

проще

[bot]

Здесь кроме $2=0$ ещё нужно коммутативность сначала поиметь. А можно и без этого.
а) единицы нет $(\forall x)(\exists y) (xy\ne y)$
б) единица есть $x(x-1)=0$

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #561411 писал(а):

ещё нужно коммутативность сначала поиметь.

А в аксиомах булева кольца есть коммутативность

Из собственной памяти писал(а):

Булевым кольцом называется ассоциативное коммутативное кольцо с тождеством $x^2 = x$.

Поимев определение, из него первым делом выводим $x + x = 0$, а затем всё остальное...

[bot]

В аксиомах коммутативность не нужна - она в полстроки выводится. И ещё полстроки на $x+x=0$
А у меня всё естественно получается для тех, кто только прочитал определение - только начинать надо с
б) Единица есть - тогда проблемы нет, так как $x$ выноси́м из тождества $x^2-x=0$.
а) Если единицы нет, то $x$ невыносим, но это исправимо, так как тождество можно домножить на $y$ ...

-- Ср апр 18, 2012 19:46:55 --

JMH в сообщении #561350 писал(а):

с единицей или без

Мне кажется очевидным, что эта необязательная оговорка в условии как раз и подсказывала изложенный способ доказательства.

[JMH]

bot в сообщении #561469 писал(а):

а) Если единицы нет, то $x$ невыносим, но это исправимо, так как тождество можно домножить на $y$ ...

Я так понимаю, это общий способ, работающий в любом случае - будь то колцо с единицей или без.
Большое спасибо!

[bot]

Ну да - берём произвольно $x\ne 0, 1$, находим $y$, для которого $xy-y\ne 0$ (или $yx-y\ne 0$, если не желаем пользоваться коммутативностью), тогда этот неноль вместе с иксом дают пару делителей нуля.

(Оффтоп)

Сначала написал только а), но потребовалось добавить ограничение $x\ne 1$, которое без пояснения выглядело как-то не очень для случая отсутствия единицы. Поэтому убрал ограничение и выделил в отдельный пункт б) тривиальный случай с единицей.

[Joker_vD]

Можно и по другому, если есть коммутативность: $x^2=x,\,y=y^2$, перемножаем равенства, переносим все в одну сторону, выносим $xy$.

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #561469 писал(а):

В аксиомах коммутативность не нужна - она в полстроки выводится.

Как она, кстати, выводится?

[bot]

$x+y=(x+y)^2=x+y+xy+yx$

[JMH]

Я попытался построить булево кольцо из четырёх элементов без единицы, самым простым способом - составить таблицы умножения и сложения. Получатся всякая ерунда, не удовлетворяющая аксиомам. Вопрос такой: где можно посмотреть пример булева кольца без единицы и/или с числом элементов более двух?
Спасибо!

[Профессор Снэйп]

JMH в сообщении #561954 писал(а):

Я попытался построить булево кольцо из четырёх элементов без единицы, самым простым способом - составить таблицы умножения и сложения. Получатся всякая ерунда, не удовлетворяющая аксиомам. Вопрос такой: где можно посмотреть пример булева кольца без единицы и/или с числом элементов более двух?
Спасибо!

$\mathbb{Z}_2^n$, где $\mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}$.

При $n = 2$ получаем кольцо из четырёх элементов. Это кольцо значений двухбитового регистра, где умножение - побитовая конъюнкция, а сложение - побитовое исключающее "или".

-- Пт апр 20, 2012 08:08:55 --

А, стоп, Вам без единицы надо!!!

А без единицы из четырёх элементов не получится. И вообще все конечные булевы кольца имеют единицу. Зато бесконечных навалом: возьмите любой неглавный идеал в бесконечной булевой алгебре и перейдите к кольцевым операциям.