5^n+3^n=m^(k+1)

[Ktina]

Решить в натуральных числах уравнение

$5^n+3^n=m^{k+1}$

[temp03]

А почему $k+1$?

[Ktina]

temp03 в сообщении #560987 писал(а):

А почему $k+1$?

Потому что если будет $k$, то получится бесконечно много решений.
Ведь любое натуральное число является первой степенью натурального числа

[temp03]

Не понял, а если переобозначить $p=k+1$?

[Ktina]

temp03 в сообщении #560999 писал(а):

Не понял, а если переобозначить $p=k+1$?

Ну, если нравится, пусть будет так.

[temp03]

Тогда так:
Если $n$ - чётно, то $5^n+3^n=4p+2= 2\cdot(2p+1)\neq m^k$
Если $n$ - нечётно, то $5^n+3^n=4(2p+1)= 2^2\cdot(2p+1)=m^2$.
Но тогда $5^n+3^n=(5+3)(2p+1)\neq m^2$.
Единственный вариант $n=1$.

(Оффтоп)

Учитывается, что $5=4+1, 3=4-1$

[Shadow]

Цитата:

Если $n$ - нечётно, то $5^n+3^n=4(2p+1)= 2^2\cdot(2p+1)=m^2$.

Если $n$ - нечётно, то $5^n+3^n=8(2p+1)= 2^3\cdot(2p+1)=m^3$.

[temp03]

Да.

[Ktina]

temp03 в сообщении #561011 писал(а):

Тогда так:
Если $n$ - чётно, то $5^n+3^n=4p+2= 2\cdot(2p+1)\neq m^k$
Если $n$ - нечётно, то $5^n+3^n=4(2p+1)= 2^2\cdot(2p+1)=m^2$.
Но тогда $5^n+3^n=(5+3)(2p+1)\neq m^2$.
Единственный вариант $n=1$.

(Оффтоп)

Учитывается, что $5=4+1, 3=4-1$

У меня чуток иначе:

$5^n+3^n$ не может быть квадратом, так как при чётном $n$ не срастается по модулю 4, а при нечётном - по модулю 3.

При $n>1$ выражение $5^n+3^n$ не может быть кубом, так как в этом случае $n$ должно равняться 3 по модулю 6 (так как кубы дают остатки 0 и $\pm 1$ при делении на 9). Но тогда не срастается по модулю 7 (так как при делении на 7 кубы тоже дают остатки 0 и $\pm 1$).

И, наконец, $5^n+3^n$ не может быть степенью выше третьей, так как не срастается по модулю 16.

Остаётся единственное решение: (1, 2, 2).

Вроде, всё.

-- 17.04.2012, 13:20 --

Там, где я написала "3 по модулю 6", забыла добавить, что $n$ делиться на 6 не может, так как при чётном $n$ всё выражение делится на 2, но не на 4.

[temp03]

ну да. я попробовал решить $3^n+5^m=p^k$, но там беспросветно.