Конференция по финслеровой геометрии

[Time]

Oleg Zubelevich в сообщении #560765 писал(а):

а мне интересно мощь этой всей науки можно на каких-то хотя бы решенных задачах продемонстрировать. Вот, дескать вы тут мучились 20 страниц исписали, а у наc вот тот же результат пять строчек занял, ну или что-нибудь в этом роде?

К сожалению, пока с такими примерами - туго.
С определенной натяжкой можно правда назвать задачу теоретического обоснования и экспериментального подтверждения существования "пятой силы", хотя, как оказалось, эта "сила" совсем даже не силовые взаимодействия задает. Последние работают между элементарными частицами, которые в четырехмерном представлении имеют вид одномерных кривых мировых линий. А появляющаяся на основе науки о поличислах пятое взаимодействие связывает друг с другом элементарные события, то есть, по сути, нульмерные особые точки четырехмерного пространства-времени. Причем последнее в добавок ко всему не псевдориманово, а плоское финслерово пространство. Можно сказать, что задачу поиска и теоретического обоснования "пятой силы" решают без малого вот уже сто лет, а при помощи предлагаемой модели она становится совершенно прозрачной даже для старшеклассников, лишь недавно познакомившихся с комплексными, двойными и четверными поличислами.
Можно еще один пример привести. При обычных силовых взаимодействиях элементарных частиц в трехмерном пространстве или в четырехмерном пространстве-времени Минковского в общем виде даже задача трех тел точно не решается. Только численно. А в нашем финслеровском четырехмерии связанном с поличислами можно без проблем представить бесконечное множество решений хоть для $10^{120}$ элементарных событий (возможно, примерно столько элементарных событий произошло за время в 13 млрд.лет в видимой части нашей Вселенной). И этот способ очень близко собой напоминает способ построения предфракталов типа множеств Жюлиа на плоскости комплексной переменной. Построив такие предфракталы в четырехмерном пространстве четверных чисел, можно потом переходить к соприкасающемуся псевдориманову пространству-времени и любоваться обычным 3-пространством, эволюционирующем во времени. При обычном подходе, похожая задача не может даже в принципе быть решена..

[g______d]

Я могу сформулировать еще одну проблему. Возможно, это та же самая проблема. Вот Вы говорите, что у Ваших пространств большая группа конформных преобразований (допустим, локальных, но в Вашем случае даже глобальных). Давайте опять рассмотрим псевдоевклидов случай. И вот Вы говорите, что гипотетически существует класс функций, ассоциированных с классическими голоморфными. Но ясно же, что этот класс не будет инвариантным относительно Вашей большой группы преобразований. Я могу сформулировать это утверждение точно, но, думаю, Вы и так понимаете.

[Time]

g______d в сообщении #560819 писал(а):

Мое мнение о гиперболическом точечном вихре --- то, что это объект, полученный из функции некоторой процедурой (вроде формальной замены в ряде Лорана комплексной переменной на двойную), и я не считаю, что эта процедура естественна.

На мой взгляд, Вы мыслите слишком математизированно. Мол, если между чем-то и чем-то можно установить взаимнооднозначное соответсвие, то соответствующие классы объектов являются не двумя множествами, а, по сути, одним и тем же. Отчасти, такой же способ мышления Вы продемонстрировали чуть выше, назвав одним и тем же двумерную электростатику и двумерную магнитостатику на евклидовой плоскости. Конечно, в неком абстрактно обобщенном смысле так поступить, думаю, можно. Но, поскольку мы с Вами сейчас пытаемся говорить о физике, для нее подобные обобщения вряд ли продуктивны.
С другой стороны, к определению и гиперболического точечного источника, и гиперболического точечного вихря на псевдоевклидовой плосоксти можно подойти и с неких иных позиций, чем те, что Вам показались неестественными, будучи основанными на формальном соответствии между аналитическими функциями комплексной переменной и некоторого подмножества связанного с конформными отображениями псевдоевклидова двумерного пространства-времени. Не вижу особых проблем в последнем двумерном пространстве ввести аналоги понятий объема, несжимаемой идеальной жидкости, скорости, потока через единицу границы и пр. На этом пути возниают гиперболические аналоги таким понятиям используемым для векторных полей на евклидовой плоскости как дивергенция и ротор. В таких гиперболических терминах мы можем говорить о гиперболической потенциальности и гиперболической соленоидальности практически буквально так же, как соответствующие понятия вводятся на евклидовой плоскости. Уверен, что при рассмотрении таких векторных полей, для которых гиперболический ротор везде равен нулю, а гиперболическая дивиргенция отлична от нуля лишь в одной точке и на связанном с нею изотропном конусе будет применим термин гиперболического точечного вихря и генерируемое им векторное поле автоматически совпадет с полем, задаваемым логарифмической функцией от двойного числа. Аналогично и для точечного гиперболического вихря. Только тут гиперболическая дивергенция во всех точках отлична от нуля, а гиперболический ротор - не нулевой только в одной точке и на связанных с нею изотропных прямых.
Я не вижу разницы между таким, в некотором смысле, офизиченном определении гиперболических точечных монополей и тем, что связывает их с евклидовыми аналогами. Интересно, как оба способа выглядят для Вас?

g______d в сообщении #560819 писал(а):

Но такая процедура переноса не является естественной причиной заниматься теорией таких функций. Нужно описать их каким-то образом во внутренних терминах псевдоевклидова пространства, не привлекая внешнее евклидово пространство. Но я думаю, что попытка написать уравнение, выделяющие такие функции, либо ни к чему ни приведет, либо приведет к классическому уравнению Лапласа, и от псевдоевклидовости ничего не останется.

Как говорится, уже теплее. Вы уже, пусть и с оговорками, но начинаете допускать, что некая процедура для введения хотя бы элементарных монополей на псевдоевклидовой плоскости все же имеется. остается понять, что именно для Вас представляется естественным для этого, а что принципиально неприемлимо. Зря Вы думаете, что от двумерной псевдоевклидовости в случае введения понятий практически во всем зеркальных к их двумерным евклидовым аналогам, вот так вдруг, ничего не останется. Тут разницы на много больше, чем между двумерной электростатикой и двумерной магнитостатикой.
Но даже если и тут допустить наличие такой обобщенной одинаковости, на мой вгзляд, для физических приложений это ничего принципиально не меняет. Более того, именно такая обобщенная одинаковость делает вопрос о наличии на псевдоевклидовой плоскости естественных аналогов полевых сингулярностей евклидовой плоскости, чуть ли, не очевидным. Признания чего, собственно, я от Вас и добиваюсь.

g______d в сообщении #560825 писал(а):

Я могу сформулировать еще одну проблему. Возможно, это та же самая проблема. Вот Вы говорите, что у Ваших пространств большая группа конформных преобразований (допустим, локальных, но в Вашем случае даже глобальных). Давайте опять рассмотрим псевдоевклидов случай. И вот Вы говорите, что гипотетически существует класс функций, ассоциированных с классическими голоморфными. Но ясно же, что этот класс не будет инвариантным относительно Вашей большой группы преобразований. Я могу сформулировать это утверждение точно, но, думаю, Вы и так понимаете.

Кажется, понимаю, о чем Вы. Это будет означать лишь то, что гиперболический угол и его инвариантность не самое удобное требование для выделения того класса функций двойной переменной, которые задают физически интерпретируемые векторные поля и имеют однозначную связь со своими аналогами на евклидовой плоскости. С таким обозначением некой проблемы могу согласиться, но это лишь означает, что нужно немного более тщательно повозиться с определением более полноценного для физических приложений инварианта, чем обычный гиперболический угол. Как вариант, сходу можно предложить в качестве замены гиперболического угла требование сохранения бесконечно малых объемов. На сколько я помню, именно об этом говорил мне М.Громов, а в последующем реализовал Г.И.Гарасько в своем принципе, названном им принципом самодостаточности финслеровых геометрий, к которым псевдоевклидова плоскость, безусловно, относится..

[g______d]

Итак, небольшое резюме. Вы всем настойчиво предлагаете посмотреть на гиперболический логарифм. Я согласен, что в евклидовом случае логарифм является выделенным объектом. Но чем выделен гиперболический логарифм?

Был сформулирован принцип переноса (в ряде Лорана заменяем комплексные переменные на двойные). Гиперболический логарифм является переносом обычного. Но сам принцип переноса пока что является искусственным сужением класса $h$-аналитических функций (на самом деле с помощью введения вспомогательной евклидовой метрики). В частности, класс функций, получаемых переносом, не инвариантен относительно заявленной группы симметрий.

Следующий логичный шаг --- сузить еще и группу симметрий, оставив только те, относительно которых указанный класс функций инвариантен. Но что-то мне представляется, что тогда получатся обычные конформные преобразования и обычные аналитические функции, инвариантные относительно них. И этот шаг уже производит впечатление "каши из топора".

-- 17.04.2012, 01:02 --

В принципе, понятно, что любой конформно инвариантный класс функций на псевдоевклидовой плоскости будет очень большим, т. к. можно брать композиции с диффеоморфизмами по одной координате. В этом недостаток объектов с большим количеством симметрий. Например, самым симметричным объектом является скаляр, тождественно равный нулю. Очень большая группа симметриии на самом деле говорит о бедности структуры.

[Time]

g______d в сообщении #560867 писал(а):

Итак, небольшое резюме. Вы всем настойчиво предлагаете посмотреть на гиперболический логарифм. Я согласен, что в евклидовом случае логарифм является выделенным объектом. Но чем выделен гиперболический логарифм?

И чем же Вы объясняете выделенность логарифма в случае комплексной плоскости? С моей точки зрения - в основном тем, что с ним связаны простейшие двумерные векторные поля одиночных точечных сингулярностей: источникового и вихревого типов. Что мешает о гиперболическом логарифме говорить ровно в том же смысле выделенности, что и его аналог на евклидовой плоскости?

g______d в сообщении #560867 писал(а):

Был сформулирован принцип переноса (в ряде Лорана заменяем комплексные переменные на двойные). Гиперболический логарифм является переносом обычного. Но сам принцип переноса пока что является искусственным сужением класса -аналитических функций (на самом деле с помощью введения вспомогательной евклидовой метрики). В частности, класс функций, получаемых переносом, не инвариантен относительно заявленной группы симметрий.

Да, множество конформных симметрий псевдоевклидовой плоскости оказывается существенно шире, "чем нужно". Но что мешает ограничиться только "хорошим" подмножеством и думать, почему именно такие функции и преобразования в первую очередь интересны.
Могу предложить еще один вариант, объясняющий, почему именно так нужно сузить множество "хороших" преобразований псевдоевклидовой плоскости.
На евклидовой плоскости конформность преобразований можно связывать не только с углом, но и с требованием перехода бесконечно малых окружностей в бесконечно малые окружности, то есть, сохранением формы бесконечно малых фигур. Подозреваю, что при произвольных преобразованиях псевдоевклидовой плоскости бесконечно малые гиперболические окружности (правильные гиперболы) не переходят в бесконечно малые гиперболические окружности. То есть, вопрос в "правильном" формулировании множества "правильных" симметрий.

g______d в сообщении #560867 писал(а):

Следующий логичный шаг --- сузить еще и группу симметрий, оставив только те, относительно которых указанный класс функций инвариантен. Но что-то мне представляется, что тогда получатся обычные конформные преобразования и обычные аналитические функции, инвариантные относительно них. И этот шаг уже производит впечатление "каши из топора".

Не могу согласиться. Какое бы соответствие обычного комплексного логарифма и гиперболического не наблюдалось, две эти функции задают два принципиально различных двумерных векторных поля. Причем одно из них на евклидовой плоскости, а второе в двумерном псевдоевклидовом пространстве-времени. Данная проблема, полагаю, из разряда надуманных. Она похожа на известный прием, когда введением мнимого времени на псевдоевклидовой плоскости метрика последней формально превращается в метрику евклидовой плоскости. Не станете же Вы на основании такого формального математического приема объявлять о полной тождественности евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей? Этот вопрос специально обсуждался в трехтомнике Уилера и Кo "Гравитация" в параграфе "прощай $ict$". Я тут на стороне вывода авторов..
К тому же, все, что мы сейчас обсуждаем, делается не ради самой псевдоевклидовой плоскости, а ради ее четырехмерного расширения на четырехмерное финслерово пространство с метрикой Бервальда-Моора. Тут точно можно быть уверенными, что как бы мы не сузили множество конформных симметрий этого пространства, оно все равно не станет копией конформной группы четырехмерного евклидова пространства. Кроме того, о каше из топора имело бы смысл говорить, если б благодаря нашим сужениям множества конформных симметрий псевдоевклидовой плоскости мы получили бы некие жалкие остатки, но ведь наш "навар" практически в такой же большой группе симметрий, как конформные симметрии евклидовой плоскости. Ничего такая кашка получается.. Вполне себе симпатичная. Было бы на много хуже, если б при таком приеме получился аналог всего 6-параметрической группы круговых преобразований евклидовой плоскости (дробнолинейных функций). Тогда можно было бы говорить о топоре..

-- Вт апр 17, 2012 01:46:54 --

g______d в сообщении #560867 писал(а):

В принципе, понятно, что любой конформно инвариантный класс функций на псевдоевклидовой плоскости будет очень большим, т. к. можно брать композиции с диффеоморфизмами по одной координате. В этом недостаток объектов с большим количеством симметрий. Например, самым симметричным объектом является скаляр, тождественно равный нулю. Очень большая группа симметриии на самом деле говорит о бедности структуры.

На мой взгляд, все это говорит просто о необходимости так переопределить понятие множества симметрий псевдоевклидовой плоскости, что бы "лишние" симметрии перестали к таковым относиться. Согласен, что обычное определение конформных симметрий (когда сохраняются гиперболические углы) для такой цели не годится.

[g______d]

Ну вот смотрите. Вы в начале решили сузить класс h-аналитических функций до аналогов обычных аналитических. Потом оставили только те симметрии, которые переводят этот класс в себя. Это на самом деле и будут классические конформные симметрии. У меня есть сильное подозрение, что такое действие по сути эквивалентно искусственному введению евклидовой метрики с забыванием про псевдоевклидову структуру.

[Time]

g______d в сообщении #560879 писал(а):

Ну вот смотрите. Вы в начале решили сузить класс h-аналитических функций до аналогов обычных аналитических. Потом оставили только те симметрии, которые переводят этот класс в себя. Это на самом деле и будут классические конформные симметрии. У меня есть сильное подозрение, что такое действие по сути эквивалентно искусственному введению евклидовой метрики с забыванием про псевдоевклидову структуру.

Но и Вы посмотрите. Наш разговор когда-то давно начался с того, что Вы утверждали о невозможности найти общие моменты между теорией функций комплексной и некоего подмножества функций двойной переменной. После нескольких витков по спирали, Вы сейчас сами говорите о еще более сильном утверждении, чем когда-то отрицали у меня в плане того, что на двойных числах и функциях от них можно указать такое подмножество, которое взаимнооднозначно соответствует множеству аналитических функций комплексной переменной. Теперь Вы (по крайней мере, в предположительном плане) готовы на существенно большее, чем тогда говорил я. Вы объявляете, что при предлагаемом соответствии, и преобразования на обеих плоскостях (конкретного класса), и сами плоскости с подобными наборами преобразований и соответствующих им функций вообще одно и то же. Неужели можно только крайних позиций придерживаться? Примите просто среднее между этими двумя противоположными позициями и согласитесь, что среди функций двойной переменной оказывается возможным выделить такое подмножество, которое аналогично (но не тождественно или полностью не совпадает) с множеством аналитических функций комплексной переменной.
Хорошо, даже если не можете сделать такой шаг, я готов с Вами согласиться, что в рамках этого более узкого класса функций двойной переменной это одно и то же, что аналитические функции комплексной переменной (на самом деле я с этим не согласен, но в контексте того, что сейчас скажу, это не суть важно). Тогда, переходя от этого узкого класса функций двойной переменной к уже естественному их расширению на аналогичное по "узости" (но уже более широкое) множество функций четверной переменной, мы получаем многомерное расширение методов ТФКП, против возможности чего Вы усиленно выступали когда-то.
Я не считаю, что "h"-голоморфные функции четверной переменной являются многомерными расширениями ТФКП, хотя бы потому, что алгебраически множество четверных чисел в отличие от комплексных не замкнуто. Но вот "hz"-голоморфные функции четверной переменной над полем комплексных чисел, думаю, с полным основанием можно назвать многомерным расширением ТФКП.
Но даже это обстоятельство имеет не особенное значение. Главный вопрос: "Есть ли у "h" и "hz"-голоморфных функций над $H_4(R)$ и $H_4(C)$ естетственные физические интерпретации, или нет?" Все остальное лишь костыли, которые можно менять, совершенствовать или вообще выбрасывать..

[g______d]

Я не могу сказать, что я поменял позицию от одной крайности к другой. Когда я говорил про отсутствие соответствия, я подразумевал естественные соответствия (и писал об этом, когда не забывал). Данное соответствие --- это то же, что ввести на псевдоевклидовом пространстве евклидову структуру и дальнейшие операции проводить с ней. Это нельзя назвать естественным. Это не согласовано с псевдоевклидовой структурой, а только с непонятно откуда взявшейся евклидовой.

-- 17.04.2012, 10:27 --

Если мы хотим какого-то физического смысла, то конструкция должна быть во внутренних псевдоевклидовых терминах.

[Time]

g______d в сообщении #560934 писал(а):

Я не могу сказать, что я поменял позицию от одной крайности к другой. Когда я говорил про отсутствие соответствия, я подразумевал естественные соответствия (и писал об этом, когда не забывал). Данное соответствие --- это то же, что ввести на псевдоевклидовом пространстве евклидову структуру и дальнейшие операции проводить с ней. Это нельзя назвать естественным. Это не согласовано с псевдоевклидовой структурой, а только с непонятно откуда взявшейся евклидовой.

Но точно так же "неестественно" некоторые математики и физики иногда поступали с псевдоевклидовым пространством-временем (причем не только двумерным, но и четырехмерным), когда вводили чисто мнимую временнУю координату и совершенно формально превращали псевдоевклидову структуру в евклидову. При таком приеме группа лоренцевых поворотов опять же совершенно формально превращается в группу евклидовых поворотов. Я согласен с Вами, что такой прием есть все основания признавать неестественным и ратую совсем не за него. Я просто подчеркиваю, что применительно к паре: псевдоевклидова плоскость - евклидова плоскость - имеется соответствие не только между группами движений и множествами дробнолинейных преобразований, но и между более широкими классами некоторых нелинейных преобразований. Но это совсем не означает, что даже в формально математическом плане группы движений обоих пространств совпадают, множества дробнолинейных преобразований совпадают и отдельные множества более интересных нелинейных преобразований так же совпадают. Более того, думаю, этот ряд формальных аналогий в некоторых классах нелинейных преобразований евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей можно продолжить далее. В частности, на евклидовой плоскости есть гораздо более широкий класс преобразований, чем конформные, которые называются квазиконформные. После таких преобразований евклидовы углы не являются инвариантами, но бесконечно малые окружности переходят в бесконечномалые эллипсы. Такие преобразования евклидовой плоскости так же как и конформные имеют физические приложения. Уверен, что у таких уже неконформных преобразований евклидовой плоскости есть полный аналог на псевдоевклидовой плоскости. Более того, тут эти аналоги оказываются частного вида конформными. То есть гиперболический угол, в отличие от евклидова для этого класса преобразований псевдоевклидовой плоскости - инвариант. Ну и что? Скорее всего это говорит только о том, что с псевдоевклидовым углом как полным аналогом евклидова пока еще не все сделано, что можно было бы. Нужно просто серьезно подумать, как тут навести максимальный порядок. А так же принять данное качество как факт и начать разбираться, какой физический смысл могут иметь такие преобразования в двумерных пространственно-временнЫх задачах.

g______d в сообщении #560934 писал(а):

Если мы хотим какого-то физического смысла, то конструкция должна быть во внутренних псевдоевклидовых терминах.

Кто ж с этим спорит? Только как быть, если эти самые "внутренние псевдоевклидовы термины" применительно к плоскости двойной переменной оказались математиками недоразвитыми? Я давно и безуспешно просил нескольких, на мой взгляд, достаточно сильных математиков построить непротиворечивую внутренне конструкцию под условным названием "Теория функций двойной переменной", причем, не прибегая вообще к аналогиям с ТФКП, а именно на основе внутренних псевдоевклидовых терминов. Тут, на сколько я понял, основной затык в месте, где должно быть строго определено понятие сходимости последовательности двойных чисел. Интуитивно ясно, что буквальная аналогия с комплексным случаем тут не проходит, но пока еще я не видел, что бы кто ни будь естественным и прямым образом справился с данной проблемой.
Этот тонкий момент очень тесно смыкается с проблемой построения на плоскости двойной переменной гиперболических аналогов множеств Жюлиа и Мандельброта. Поскольку я с коллегами немного занимался этой задачей, то знаю, что имеется ее элегантное решение. В частности, нам удалось построить фракталы (вернее, предфракталы), являющиеся гиперболическими аналогами предфракталов Жюлиа на комплексной плоскости. Но для этого нам пришлось уйти от обычного способа построений комплексных фракталов связанного с прямыми итерациями и перейти к гиперболическому аналогу метода обратных итераций. Кажется мы даже немного видоизменили этот метод. Но главное, что мы получили результат. И хотя мы не знаем, как этот практический успех перефразировать в направлении правильного и строгого определения сходимости последовательности двойных чисел (это задача математиков), мы получили дополнительную уверенность, что такой способ есть.
Может Вы захотите привести ситуацию со строгим и "правильным" определением сходимости последовательности двойных чисел в порядок? Мне кажется, Вы достаточно хорошо представляете имеющуюся проблему и в отличие от многих математиков, хотя бы гипотетически допускаете, что эта задача в принципе решаема..

[g______d]

Боюсь, что я не очень хорошо представляю себе имеющуюся проблему. Двойные числа представляют собой векторное пространство над $\mathbb R$. Если мы хотим, чтобы операции сложения и умножения на скаляры были непрерывны, то существует единственная топология с таким свойством --- топология покоординатной сходимости.

[Time]

g______d в сообщении #560982 писал(а):

Боюсь, что я не очень хорошо представляю себе имеющуюся проблему. Двойные числа представляют собой векторное пространство над $\mathbb R$. Если мы хотим, чтобы операции сложения и умножения на скаляры были непрерывны, то существует единственная топология с таким свойством --- топология покоординатной сходимости.

Мне представляется, что Вы не вполне точно выразились. Во-первых, двойные числа представляют собой векторное пространство над $\mathbb R^2$.
Во-вторых, это не просто векторное пространство, а коммутативная алгебра, только не с полноценным делением с единственным исключением как у алгебр действительных и комплексных чисел, а с двумя одномерными подмножествами этих самых исключений (делителей нуля).
В-третьих, я пытаюсь Вас заинтересовать задачами не столько алгебры, сколько анализа над алгеброй двойных чисел. Возможность такого построения косвенно подсказывает наш опыт с функциями двойной переменной, являющимися аналогами аналитических функций комплексной переменной.
В-четвертых, Вы совершенно правильно сделали акцент на вопросе топологии. Именно с ней, как мне представляется, и нужно в первую очередь повозиться. Естественная топология евклидовой плоскости тут не годится, так как бесконечно малые метрические круги в окрестности точки не являются компактными. Наверное есть еще какие-то ограничения. Но думается, что эти ограничения можно естественным образом обойти, так как иначе нам с соавторами просто не удалось бы построить гиперболические аналоги предфракталов из множеств Жюлиа.
В любом случае, при желании, сперва стОило бы хотя бы немного повозиться. Ведь если есть малейшая надежда на успех, надеюсь, Вы понимаете возможные последствия..

[g______d]

Нет, тут Вы точно неправильно выразились. Не бывает векторных пространств над $\mathbb R^2$, а бывают двумерные векторные пространства над $\mathbb R$. Векторные пространства бывают только над полем. Отсылаю Вас к определению векторного пространства --- странно, что Вы его не знаете. Кроме того, любая алгебра над $\mathbb R$ автоматически является векторным пространством над $\mathbb R$, см. определение алгебры.

На векторных пространствах есть единственная естественная топология. Более точно, существует единственная хаусдорфова топология, такая что сложение элементов и умножение на число являются непрерывными функциями.

Стандартная топология в псевдоевклидовом пространстве такая же, как и в евклидовом. Тот факт, что в евклидовом пространстве метрическая функция задает ту же самую топологию, --- это совпадение. Точнее, это свойство метрики. Чтобы ввести метрику (в смысле дифференциальной геометрии), нужно сначала ввести структуру многообразия, а для структуры многообразия уже надо, чтобы была топология. И в том, и в другом случае эта топология является стандартной топологией на $\mathbb R^2$.

Разговоры про то, что лоренцева функция расстояния задает свою топологию --- это в основном спекуляция и подмена понятий в связи с их непониманием. Я видел несколько тредов про это на разных форумах, и везде это было так. В принципе, можно исхитриться и ввести новую топологию со сходимостью интервалов, но она не будет хаусдорфовой, и целые прямые склеятся в точки. Еще раз повторю, что и на евклидовом, и на псевдоевклидовом пространстве есть одна и та же естественная топология, без которой вообще нет смысла говорить о метрике.

[Time]

g______d в сообщении #561004 писал(а):

Нет, тут Вы точно неправильно выразились. Не бывает векторных пространств над $\mathbb R^2$, а бывают двумерные векторные пространства над $\mathbb R$. Векторные пространства бывают только над полем. Отсылаю Вас к определению векторного пространства --- странно, что Вы его не знаете. Кроме того, любая алгебра над $\mathbb R$ автоматически является векторным пространством над $\mathbb R$, см. определение алгебры.

Согласен. Я хотел сказать, что двойные числа - двумерное векторное пространство. Получилось не удачно..

Цитата:

Стандартная топология в псевдоевклидовом пространстве такая же, как и в евклидовом. Тот факт, что в евклидовом пространстве метрическая функция задает ту же самую топологию, --- это совпадение.

Что на псевдоевклидовой плоскости считается та же самая топология, как и на евклидовой плоскости, полагаю, не правильно. Очень может быть, что должна быть своя, или, как минимум, нечто совсем иное. Хотя бы потому, что на псевдоевклидовой плоскости получается, что любые две сферы (окружности) обязательно пересекаются. В естественной евклидовой топологии это не так.

Цитата:

Точнее, это свойство метрики. Чтобы ввести метрику (в смысле дифференциальной геометрии), нужно сначала ввести структуру многообразия, а для структуры многообразия уже надо, чтобы была топология. И в том, и в другом случае эта топология является стандартной топологией на $\mathbb R^2$.

Я знаю, что так принято считать, но для меня не очевидно, что это единственный, а главное, наиболее хороший вариант. Для псевдоевклидовой топологии, естественно..

Цитата:

Разговоры про то, что лоренцева функция расстояния задает свою топологию --- это в основном спекуляция и подмена понятий в связи с их непониманием. Я видел несколько тредов про это на разных форумах, и везде это было так.

Может и спекуляции. А может и нет. Я имел беседы на эту тему с очень сильными топологами, в частности с Р.Михайловым. На сколько я помню, он считает, что топология на псевдоевклидовой плоскости должна быть не евклидова. С более сильными топологами я не знаком, приходится верить ему. Тем более, что хочется верить. :)

Цитата:

В принципе, можно исхитриться и ввести новую топологию со сходимостью интервалов, но она не будет хаусдорфовой, и целые прямые склеятся в точки.

Что касается меня, то не важно какие придется принести "жертвы". Лишь бы, благодаря им и при прямом способе построения фракталов из гиперболических аналогов множества Жюлиа на плоскости двойной переменной, получалось то же самое, что у нас получилось при методе обратных итераций. Это можно считать своеобразным критерием правильности выбранного направления "исхитриться".

Цитата:

Еще раз повторю, что и на евклидовом, и на псевдоевклидовом пространстве есть одна и та же естественная топология, без которой вообще нет смысла говорить о метрике.

Я думаю, что именно это обстоятельство одна из основных причин, почему до сих пор не существует таких, полностью самосогласованных и не тривиальных разделов математики с приложениями к физике, как "теория функций двойной переменной" и "теория гиперкомплексного потенциала".
Если б хотя бы экспериментаторы подкинули теоретикам пищу и мотивацию в виде уверенного знания, что гиперболические поля существуют в реальности, но ведь и этого пока нет. Так что, попробуйте хотя бы представить, что такие поля не менее экзотические, чем электромагнитные и гравитационные, а теоретикам нужно просто найти для них фундаментальную математическую и геометрическую подоплеку.
Если того, что было сказано выше - мало, могу предложить еще одну идею. Дело в том, что псевдоевклидову плоскость можно рассматривать не как двумерное пространство, а как двумерное время без единого пространственного измерения. Возможно, топология многомерного времени, в отличие от топологии многомерного пространства, просто обязана быть совершенно иной и отталкиваться от иных постулатов. Кстати, любое многообразие с метрикой Бервальда-Моора, включая и одномерный тривиальный случай, это тоже всё многомерные времЁна без единой пространственной координаты. Может в этом все дело?
Короче, нужно исхитряться...

[Someone]

Time в сообщении #561035 писал(а):

Что на псевдоевклидовой плоскости считается та же самая топология, как и на евклидовой плоскости, полагаю, не правильно.

Очень даже правильно, потому что это единственная топология, в которой векторные операции непрерывны.

Time в сообщении #561035 писал(а):

Может и спекуляции. А может и нет.

Однозначно спекуляция. Если думаете иначе - сформулируйте определение топологии, которая, по Вашему мнению, должна быть. Собственно говоря, нужно указать базу топологии. Как только Вы это сделаете, мы посмотрим.

[Time]

Someone в сообщении #561037 писал(а):

Очень даже правильно, потому что это единственная топология, в которой векторные операции непрерывны.

Почему векторные операции обязательно должны быть непрерывными? В конце концов, на псевдоевклидовой плоскости нет непрерывного поворота, что бы вектор сделав полный оборот снова совпал сам с собой. Только через разрывы на делителях нуля..

Someone в сообщении #561037 писал(а):

Однозначно спекуляция. Если думаете иначе - сформулируйте определение топологии, которая, по Вашему мнению, должна быть. Собственно говоря, нужно указать базу топологии. Как только Вы это сделаете, мы посмотрим.

В своих увлечениях финслеровыми геометриями и связанными с ними гиперкомплексными числами я уже имел возможность не раз убедиться, что строго и полно сформулированная постановка задачи, представляет собой более половины самого решения. Может попробуете помочь с формулировками?