Нет, тут Вы точно неправильно выразились. Не бывает векторных пространств над
, а бывают двумерные векторные пространства над
. Векторные пространства бывают только над полем. Отсылаю Вас к определению векторного пространства --- странно, что Вы его не знаете. Кроме того, любая алгебра над
автоматически является векторным пространством над
, см. определение алгебры.
Согласен. Я хотел сказать, что двойные числа - двумерное векторное пространство. Получилось не удачно..
Цитата:
Стандартная топология в псевдоевклидовом пространстве такая же, как и в евклидовом. Тот факт, что в евклидовом пространстве метрическая функция задает ту же самую топологию, --- это совпадение.
Что на псевдоевклидовой плоскости считается та же самая топология, как и на евклидовой плоскости, полагаю, не правильно. Очень может быть, что должна быть своя, или, как минимум, нечто совсем иное. Хотя бы потому, что на псевдоевклидовой плоскости получается, что любые две сферы (окружности) обязательно пересекаются. В естественной евклидовой топологии это не так.
Цитата:
Точнее, это свойство метрики. Чтобы ввести метрику (в смысле дифференциальной геометрии), нужно сначала ввести структуру многообразия, а для структуры многообразия уже надо, чтобы была топология. И в том, и в другом случае эта топология является стандартной топологией на
.
Я знаю, что так принято считать, но для меня не очевидно, что это единственный, а главное, наиболее хороший вариант. Для псевдоевклидовой топологии, естественно..
Цитата:
Разговоры про то, что лоренцева функция расстояния задает свою топологию --- это в основном спекуляция и подмена понятий в связи с их непониманием. Я видел несколько тредов про это на разных форумах, и везде это было так.
Может и спекуляции. А может и нет. Я имел беседы на эту тему с очень сильными топологами, в частности с Р.Михайловым. На сколько я помню, он считает, что топология на псевдоевклидовой плоскости должна быть не евклидова. С более сильными топологами я не знаком, приходится верить ему. Тем более, что хочется верить. :)
Цитата:
В принципе, можно исхитриться и ввести новую топологию со сходимостью интервалов, но она не будет хаусдорфовой, и целые прямые склеятся в точки.
Что касается меня, то не важно какие придется принести "жертвы". Лишь бы, благодаря им и при прямом способе построения фракталов из гиперболических аналогов множества Жюлиа на плоскости двойной переменной, получалось то же самое, что у нас получилось при методе обратных итераций. Это можно считать своеобразным критерием правильности выбранного направления "исхитриться".
Цитата:
Еще раз повторю, что и на евклидовом, и на псевдоевклидовом пространстве есть одна и та же естественная топология, без которой вообще нет смысла говорить о метрике.
Я думаю, что именно это обстоятельство одна из основных причин, почему до сих пор не существует таких, полностью самосогласованных и не тривиальных разделов математики с приложениями к физике, как "теория функций двойной переменной" и "теория гиперкомплексного потенциала".
Если б хотя бы экспериментаторы подкинули теоретикам пищу и мотивацию в виде уверенного знания, что гиперболические поля существуют в реальности, но ведь и этого пока нет. Так что, попробуйте хотя бы представить, что такие поля не менее экзотические, чем электромагнитные и гравитационные, а теоретикам нужно просто найти для них фундаментальную математическую и геометрическую подоплеку.
Если того, что было сказано выше - мало, могу предложить еще одну идею. Дело в том, что псевдоевклидову плоскость можно рассматривать не как двумерное пространство, а как двумерное время без единого пространственного измерения. Возможно, топология многомерного времени, в отличие от топологии многомерного пространства, просто обязана быть совершенно иной и отталкиваться от иных постулатов. Кстати, любое многообразие с метрикой Бервальда-Моора, включая и одномерный тривиальный случай, это тоже всё многомерные времЁна без единой пространственной координаты. Может в этом все дело?
Короче, нужно исхитряться...