Доверительное оценивание логнормального распределения

[sheekanov]

Здравствуйте!
В практической задаче (результаты приемо-сдаточных испытаний вакуумных дугогасительных камер по токам автоэмиссии) столкнулся с логнормальным распределением (по крайней мере, и тест Лиллиефорса, и тест Хи-квадрат для сложных гипотез показали достаточно высокий уровень значимости для всех имеющихся выборок).

И у меня возникли два вопроса:

1) Можно ли составить доверительные оценки для мат. ожидания и дисперсии логнормального распределения? То есть не для его параметров $\mu$ , $\sigma$ (тут мне понятно, берем логарифм выборки и составляем доверительные оценки для нормального распределения), а вот именно для мат. ожидания и дисперсии.

2) Есть ли для логнормального распределения двухвыборочные критерии на равенство мат. ожидания и дисперсии? Опять же, сравнить параметры $\mu$ , $\sigma$ я смог (взял логарифм выборки и для него выполнил тестирование по Стьюденту и Фишеру), но вот интересуют именно моменты распределения.

Извините, пожалуйста, если эти вопросы покажутся вам глупыми. В университете мат. статистику нам не читали вообще (хотя семестр теорвера был), поэтому сейчас разбираюсь сам. Прочитал онлайн-методичку Маниты и "Анализ данных на компьютере" Тюрина (правда, не всю, факторный анализ еще не трогал), вроде более-менее все переварил, но в голове некоторая каша, а вокруг нет никого, с кем можно было бы обсудить. Можно я вас тут поспрашиваю?

Заранее благодарю!

[Александрович]

Преобразовали с.в. до нормального распределения, нашли доверительные интервалы и для границ интервалов делаете обратное преобразование.

[sheekanov]

Александрович в сообщении #559274 писал(а):

Преобразовали с.в. до нормального распределения, нашли доверительные интервалы и для границ интервалов делаете обратное преобразование.

Я так понял, вы, по сути, предлагаете полученные численные значения границ $\mu$,$\sigma$ подставить в формулу для мат. ожидания логнормальной с.в. и получить таким образом оценку?

[Александрович]

Нет, сделать обратное преобразование.

[_hum_]

В таких вещах, ИМХО, нужно в первую очередь осознать и изложить, что вы в конце-концов хотите получить (именно содержательно, через частоту/вероятность наступления интересующих вас на практике событий). Иначе получается тестирование ради тестирования.

[sheekanov]

Александрович в сообщении #559300 писал(а):

Нет, сделать обратное преобразование.

Пока, честно говоря, не удалось осознать, что Вы имеете в виду.

_hum_ в сообщении #559310 писал(а):

В таких вещах, ИМХО, нужно в первую очередь осознать и изложить, что вы в конце-концов хотите получить (именно содержательно, через частоту/вероятность наступления интересующих вас на практике событий). Иначе получается тестирование ради тестирования.

Дело в том, что у меня есть четыре равного объема выборки - измерения тока на двух измерительных каналах двух разных установок.

Задача №1: выяснить, различаются ли данные, полученные при испытаниях одинаковых приборов, от канала к каналу и от установки к установке. Иными словами, настроены ли установки "в унисон".
Задача №2: попрактиковаться в статистике.

Я поступил так:

1) Провел тестирование по Уилкоксону. Обнаружил, что значения токов, полученных на первых каналах установок имеют тенденцию превышать значения токов, полученных на вторых каналах установок. При этом первые каналы двух установок между собой не различаются (в смысле критерия Уилкоксона), как и вторые каналы.

2) Провел тестирование по Смирнову. Обнаружил то же самое, только теперь еще подтвердил, что у первых каналов двух установок и вторых каналов двух установок распределения вообще не различаются.

3) Взял одну выборку и посмотрел, какие распределения ее могли бы описывать. Далее тестировал каждую выборку Хи-квадратом на три распределения: логнормальное, Вейбулла, гамма. Тесты дали такой результат: для всех четырех выборок одновременно не отвергли только логнормальное распределение. Тогда взял логарифмы выборок и протестировал по Лиллиефорсу на нормальность - все выборки показали хороший уровень значимости.

4) Снова же, посчитал логарифмы выборок и протестировал их по двухвыборочным критериям Фишера и Стьюдента. Получил те же результаты, что и в п.2) по Смирнову.

5) Провел доверительное оценивание параметров $\mu$, $\sigma$. Не знаю зачем. Захотелось. Хотя, нет, я догадываюсь, что из этого можно получить оценки моментов распределения

Далее хотелось бы получить доверительные оценки мат. ожиданий и дисперсий распределений, а так же как-нибудь протестировать выборки на равенство мат. ожиданий и дисперсий. Чтобы, в конце концов, сказать, например: первые каналы установок отличаются от вторых каналов только средним значением, разброс не различается. А первые каналы между собой вообще не различаются, как и вторые каналы. И привести доверительные оценки мат. ожидания и дисперсии.

[Александрович]

sheekanov в сообщении #559315 писал(а):

а так же как-нибудь протестировать выборки на равенство мат. ожиданий и дисперсий.

Ну и тестируйте прологарифмированные значения.

[sheekanov]

Александрович в сообщении #559317 писал(а):

sheekanov в сообщении #559315 писал(а):

а так же как-нибудь протестировать выборки на равенство мат. ожиданий и дисперсий.

Ну и тестируйте прологарифмированные значения.

Я протестировал. Нашел, что у двух прологарифмированных (нормальных) выборок различаются и $\mu$, и $\sigma$. Но ведь моменты логнормального распределения рассчитываются как комбинация этих двух параметров. А у меня есть убежденность, что эти две выборки различаются только мат. ожиданиями. Так что хочется тестировать именно моменты логнормального распределения, а не нормального.

[Александрович]

sheekanov в сообщении #559315 писал(а):

И привести доверительные оценки мат. ожидания и дисперсии.

Пусть вы определили границы доверительного интервала для оценки матожидания прологарифмированных (т.е. нормальных с.в.) Эти границы есть какие-то квантили. Найдите чему равны эти же квантили логнормального распределения.

[--mS--]

sheekanov в сообщении #559322 писал(а):

Я протестировал. Нашел, что у двух прологарифмированных (нормальных) выборок различаются и $\mu$, и $\sigma$. Но ведь моменты логнормального распределения рассчитываются как комбинация этих двух параметров. А у меня есть убежденность, что эти две выборки различаются только мат. ожиданиями. Так что хочется тестировать именно моменты логнормального распределения, а не нормального.

Насколько я понимаю, критерия, который основывался бы на точном (а не асимптотическом при растущих объёмах выборок) распределении некоторой статистики, для проверки гипотезы равенства матожиданий двух независимых логнормальных выборок (т.е. равенства $\mu_1+\frac{\sigma_1^2}{2}=\mu_2+\frac{\sigma_2^2}{2}$) построить нельзя. Но если объёмы выборок сравнительно велики, можно устроить критерий равенства матожиданий, исходя из центрлаьной предельной теоремы. Пусть элементы выборки $X_1,\ldots, X_n$ имеют логнормальное распределение с параметрами $(\mu_1,\sigma_1^2)$, не зависящие от неё $Y_1,\ldots,Y_m$ имеют логнормальное распределение с параметрами $(\mu_2,\sigma_2^2)$, $\overline X$ и $\overline Y$ суть соответствующие выборочные средние, $S_{0,X}^2$ и $S_{0,Y}^2$ - несмещённые (смещённые тоже пойдут) выборочные дисперсии. Тогда при верной основной гипотезе $\mathsf EX_1=\mathsf EX_2$ статистика

$$ \rho(\vec X, \vec Y)=\sqrt{\dfrac{mn}{mS_{0,X}^2+nS_{0,Y}^2}}(\overline X - \overline Y) \Longrightarrow \textrm{N}_{0,1} $$

(слабо сходится при $n,m\to\infty$ к нормальному стандартному распределению). Соответственно, критическая область критерия, построенного по этой статистике, будет $\left\{|\rho(\vec X, \vec Y)| > \tau_{1-\frac{\varepsilon}{2}}\right\}$, где $\tau_{1-\frac{\varepsilon}{2}}$ - квантиль стандартного нормального распределения соответствующего уровня. Размер такого критерия (вероятность ошибки первого рода) будет приближаться к $\varepsilon$ с ростом $n$ и $m$.

[sheekanov]

--mS--, спасибо! Я так понимаю нужно, чтобы объем выборок был побольше, чтобы оценки дисперсий не сильно отличались от их истинных значений, и ЦПТ работала. Правильно?
А еще, я так понимаю, что это "непараметрический" подход, т.е. такой критерий можно составить для любого распределения?

Я вот покопался в литературе и нашел возможное решение для доверительных интервалов логнормального распределения. Метод называется MOVER (Method of variance estimation recovery), и суть в том, чтобы из доверительных границ для параметров $\mu$,$\sigma^2$ извлечь оценки дисперсии комбинации $\mu+(\sigma^2)/2$.
Этот метод описывается, например, в "Zou, Y. Z., Taleban, J., Huo, C. Y., 2009. Confidence interval estimation for lognormal data with application to health economics\\ Computational Statistics and Data Analysis 53,3755–3764.".
Там же есть и результаты моделирования, показывающие адекватность подхода.
Статья есть на сайнсдиректе: http://dx.doi.org/10.1016/j.csda.2009.03.016
Может, кому-нибудь еще пригодится.