Вращательный инвариант кривой

[Dave]

Пусть $\gamma$ - кривая на плоскости, не проходящая через начало координат, заданная непрерывным отображением $f \colon [0,1] \to \mathbb R^2$; в данной задаче $\gamma$ и $f$ отождествляются, т.е. параметризация важна. Для любого разбиения $D=\{t_i\}_{i=0}^n$, $0=t_0<t_1<t_2< \dots <t_{n-1}<t_n=1$ отрезка $[0,1]$ рассмотрим величину

$$S_{\gamma}^D=\frac 1 {2 \pi} \sum_{i=0}^{n-1} \frac {x(t_i)y(t_{i+1})-x(t_{i+1})y(t_i)} {x^2(t_i)+y^2(t_i)},$$

где $x$ и $y$ - координаты $f$, т.е. $f(t)=(x(t),y(t))$.
1) Докажите, что если $\Delta_D=\max_{i=0}^{n-1} (t_{i+1}-t_i) \to 0$, то $S_{\gamma}^D$ всегда сходится к одному и тому же конечному значению $S_{\gamma}$, зависящему только от исходной кривой $\gamma$, но не от последовательности выбранных разбиений $D$.
2) Назовём кривую $\gamma$ замкнутой, если $f(0)=f(1)$. Докажите, что если кривая $\gamma$ - замкнутая, то $S_{\gamma}$ - всегда целое число.
3) Пусть $\gamma$ - замкнутая кривая и $|S_{\gamma}| \geqslant 2$. Докажите, что $\gamma$ является самопересекающейся (совпадение $f(0)=f(1)$ самопересечением не считается).
4) (усиление 3) Пусть выполнены условия п.3. Назовём степенью точки плоскости количество раз (конечное или бесконечное), которое $\gamma$ проходит через эту точку, уменьшенное на $1$ (т.е. для точки $a$ - это мощность множества $\{t \in [0,1) \mid f(t)=a\}$ минус $1$). Докажите, что можно выбрать одну или несколько точек, сумма степеней которых не меньше $|S_{\gamma}|-1$.

[Oleg Zubelevich]

$\frac{1}{2\pi}\int\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ в полярных координатах эта 1-форма особенно хорошо пишется

[Dave]

Хочу сделать одно дополнение. Вышеприведённое определение $S_{\gamma}^D$ подходит для спрямляемых кривых, для произвольного же непрерывного отображения $f$ его нужно заменить на выражение

$$S_{\gamma}^D=\frac 1 {2 \pi} \sum_{i=0}^{n-1} \arctg \frac {x(t_i)y(t_{i+1})-x(t_{i+1})y(t_i)} {x(t_i)x(t_{i+1})+y(t_i)y(t_{i+1})},$$

имеющее смысл, когда $\Delta_D$ достаточно мало. Хотя привести пример, когда эти определения различаются (в смысле предельного значения), наверно сложновато будет .

Oleg Zubelevich в сообщении #560613 писал(а):

$\frac{1}{2\pi}\int\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ в полярных координатах эта 1-форма особенно хорошо пишется

Пишется хорошо, только какой от неё смысл, если кривая не слишком хорошая (например, кривая Пеано)? Этот интеграл в стандартном смысле не определяется, если $x(t)$ и $y(t)$ не дифференцируемы.
Да, и не забывайте о п.3 и 4.

[Oleg Zubelevich]

я только хотел намекнуть, что вот этот чудовищный агрегат

Dave в сообщении #560575 писал(а):

им величину

$$S_{\gamma}^D=\frac 1 {2 \pi} \sum_{i=0}^{n-1} \frac {x(t_i)y(t_{i+1})-x(t_{i+1})y(t_i)} {x^2(t_i)+y^2(t_i)},$$

это просто приращение угла радиус-вектора кривой и все Ваши пункты являются прямым следствием этого. И уж конечно приращение угла определено не только для гладких кривых.

[Dave]

Oleg Zubelevich в сообщении #560750 писал(а):

я только хотел намекнуть, что вот этот чудовищьный агрегат

Dave в сообщении #560575 писал(а):

им величину

$$S_{\gamma}^D=\frac 1 {2 \pi} \sum_{i=0}^{n-1} \frac {x(t_i)y(t_{i+1})-x(t_{i+1})y(t_i)} {x^2(t_i)+y^2(t_i)},$$

это просто приращение угла радиус-вектора кривой

Как определяется "угол радиус-вектора кривой", когда $\gamma$ - скажем, окружность с центром в начале координат?

Oleg Zubelevich в сообщении #560750 писал(а):

и все Ваши пункты являются прямым следствием этого

Может я чего-то не понимаю, но каким образом, к примеру, п.3 является "прямым следствием"?

[Oleg Zubelevich]

это Вам пусть ewert объясняет. У него нервы крепкие. А я сразу начну материться и мы поссоримся.

[Dave]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #560761 писал(а):

это Вам пусть ewert объясняет. У него нервы крепкие. А я сразу начну материться и мы поссоримся.

ewert и не утверждал, что для него здесь всё очевидно. А материться - это, конечно, один из наиболее эффективных методов доказательства

[Oleg Zubelevich]

Да , смешно.

Dave в сообщении #560575 писал(а):

3) Пусть $\gamma$ - замкнутая кривая и $|S_{\gamma}| \geqslant 2$. Докажите, что $\gamma$ является самопересекающейся (совпадение $f(0)=f(1)$ самопересечением не считается).

из условия следует, что при обходе кривой ее радиус вектор делает как минимум два полных оборота вокруг начала координат и возвращается в туже точку кривой. Понятно, что без самопересечений такое невозможно. Хотя можно и формализм навести. Лично мне это уже неинтересно.