И снова сложная задачка по функану

[001010001]

Всем привет. Прежде всего, хотел бы поблагодарить Oleg Zubelevich за помощь в решении предыдущей, я не стал тему поднимать.
Но на неделе появилась новая, к которой я опять не знаю как и подойти.

Пусть $X,Y$ - нормированные пр-ва, $T\in\mathcal{L}(X,Y)$ - линейный оператор, причём $\forall {x_\alpha}\subset X$ из того, что $x_\alpha \rightharpoonup 0 \Rightarrow ||Tx_\alpha||\rightarrow 0$.
Доказать, что $T$ - непрерывен и конечномерен. Под $\rightharpoonup$ я понимаю слабую сходимость.

[Oleg Zubelevich]

оператор $T:(X,\sigma(X,X'))\to (Y,\|\cdot\|_Y)$ непрерывен по условию задачи

[001010001]

Oleg Zubelevich в сообщении #560254 писал(а):

оператор $T:(X,\sigma(X,X'))\to (Y,\|\cdot\|_Y)$ непрерывен по условию задачи

Это понятно. Непонятно, собственно, с конечномерностью.

[Oleg Zubelevich]

1) какими полунормами вводится топология $\sigma(X,X')$
2) как в терминах этих полунорм записать необходимое и достаточное условие непрерывности $T$?

[Padawan]

Компактен может? Известное свойство компактных операторов -- они переводят слабо сходящиеся последовательности (и направленности тоже вроде) в сильно сходящиеся.

[Oleg Zubelevich]

нет, у оператора образ конечномерен

[Padawan]

То есть для направленностей сформулированное мной утверждение не верно?

[Oleg Zubelevich]

я не на это возражал. Оператор разумеется компактен, потому, что он конечномерен и непрерывен, я подумал, что Вы хотите ограничиться доказательством компактности

[Padawan]

Возьмем компактный, но не конечномерный оператор. Он удовлетворяет условию задачи.

[Oleg Zubelevich]

топология $\sigma(X,X')$ задается полунормами $p_\xi(x)=|(\xi,x)|,\quad \xi\in X'$. Поэтому [Иосида Функциональный анализ] найдется такая константа $c>0$ и набор $\xi_1,\ldots,\xi_n\in X'$, что $\|Tx\|_Y\le c\max_k|(\xi_k,x)|$ откуда вытекает, что $\mathrm{codim}\ker T<\infty$

-- Вс апр 15, 2012 17:19:27 --

Padawan в сообщении #560359 писал(а):

Он удовлетворяет условию задачи.

а может и нет, надо посмотреть вы книжку и узнать точную формулировку утверждения на которое Вы ссылаетесь

[Padawan]

Значит для направленностей не верно. Странно.

[001010001]

Oleg Zubelevich в сообщении #560342 писал(а):

1) какими полунормами вводится топология $\sigma(X,X')$
2) как в терминах этих полунорм записать необходимое и достаточное условие непрерывности $T$?

1) $\sigma(X,X')=\{|f| : f\in X'\}$
2) Ну, подойдёт как раз "$T\in B(X,Y)$ тогда и только тогда когда $x_\alpha\rightarrow x$ из $(X,\tau)$ переводит в $Tx_\alpha\rightarrow Tx$ из $(Y,\omega)$"
Хм, а можете ещё раз, откуда взялось это утверждение:

Oleg Zubelevich писал(а):

Поэтому [Иосида Функциональный анализ] найдется такая константа $c>0$ и набор $\xi_1,\ldots,\xi_n\in X'$, что $\|Tx\|_Y\le c\max_k|(\xi_k,x)|$ откуда вытекает, что $\mathrm{codim}\ker T<\infty$

Это как бы получилось, что задача совсем тривиальная и решается по определению. Не понимаю.
Вернее нет. Что-то я запутался.