Задача про интерферометр

[Xblow]

Задача взята из сборника Всероссийских олимпиад, к ней приложено и решение:





Я не понимаю, откуда взялось $m\lambda_{1} = (m+1)\lambda_{2} $, т.е, почему $m\lambda_{1} = (m+2)\lambda_{2} $ неверно. Также не понимаю первое уравнение: $\lambda = 2vT$. Объясните, пожалуйста.

[Ilia_]

За время $t$ зеркало отъедет на расстояние $vt$. Длина пути луча увеличится на $2vt$. Если показатель преломления $n=1$, то изменение длины пути в точности равно изменению оптической разности хода. Если разность хода изменилась на целое число длин волн, сила тока осталась той же. Очевидно, что периоду изменения силы тока $T$ соответствует изменение разность хода на $\lambda$. Отсюда $\lambda=2vT$. Фокус здесь в том, что $\lambda_1$ и $\lambda_2$ оп условию мало отличаются, поэтому изменение максимальной амплитуды, связанное с движением зеркала, практически одно и то же. Поэтому в качестве $\lambda$ можно взять их среднее арифметическое, или любую из них, с точностью до $\Delta\lambda$.

$m\lambda_1=(m+2)\lambda_2$ означает совпадение гребней через один. Тогда и $\tau$ надо брать на как расстояние между двумя соседними максимумами.

[Ilia_]

А вообще тут можно обойтись и без подобных рассуждений. Голая математика: складываются волны $A_1\cos\left(\frac{2\pi c}{\lambda_1}t+\varphi_1\right)$, $A_2\cos\left(\frac{2\pi c}{\lambda_2}t+\varphi_2\right)$, $A_3\cos\left(\frac{2\pi (c+2v)}{\lambda_1}t+\varphi_3\right)$, $A_3\cos\left(\frac{2\pi (c+2v)}{\lambda_2}t+\varphi_4\right)$ при условиях $\Delta\lambda=|\lambda_1-\lambda_2|\ll\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}=\lambda$, $v\ll c$.

На графике изображена величина пропорциональная интенсивности, значит, возведём сумму косинусов в квадрат. Потом разложим произведения косинусов по известным формулам. Очевидно, что прибор имеет конечное разрешение по времени, то есть он меряет фототок, усредняя его значение за некоторое небольшое время ($t\ll 1$ сек). Поэтому и нам надо усреднить полученное выражение по быстрым осцилляциям ($t\sim \lambda/c\ll 1$ сек.). Это уничтожит все квадраты (от них останутся константы) и вообще все члены со скоростью света. Останутся самые медленные осцилляции, с периодами $\tau\sim \lambda^2/(\Delta\lambda v)$ и $T\sim \lambda/v$. Их мы и видим на графике.