Большое уравнение без ОДЗ

[Keter]

Решить уравнение в действительных числах:

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{x}-1}+\sqrt[3]{(\sqrt[5]{x}-1)^3-\sqrt[5]{x}+2}=\sqrt[15]{x}+\sqrt[3]{(\sqrt[5]{x}-1)^3-\sqrt[5]{x}+1}$

Решение

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{x}-1}+\sqrt[3]{(\sqrt[5]{x}-1)^3-\sqrt[5]{x}+2}=\sqrt[15]{x}+\sqrt[3]{(\sqrt[5]{x}-1)^3-\sqrt[5]{x}+1}$

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{x}-1}+\sqrt[3]{(\sqrt[5]{x}-1)^3-(\sqrt[5]{x}-1-1)}=\sqrt[3]{\sqrt[5]{x}-1+1}+\sqrt[3]{(\sqrt[5]{x}-1)^3-(\sqrt[5]{x}-1)}$

Замена: $\sqrt[5]{x}-1 = t$

$\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{t^3-t+1}=\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{t^3-t}$

Замена: $t^3-t = v$

$\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{v+1}=\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{v}$

$t \ne t+1$
$v \ne v+1$

$\begin{cases}t=v,\\ t+1=v+1;\end{cases} \begin{cases}t=t^3-t,\\ t+1=t^3-t+1;\end{cases} t^3-2t=0; t=\{-\sqrt2; 0; \sqrt2 \}.$

$\begin{cases}-t=v+1,\\ -v=t+1;\end{cases} \begin{cases}-t=t^3-t+1,\\ -t^3+t=t+1;\end{cases} t^3 = -1; t=-1.$

Итак, $t = \{-\sqrt2; -1; 0; \sqrt2 \}$.

После обратной замены получаем

$x=\{0; 1; (1+\sqrt2)^5; (1-\sqrt2)^5 \}$.

Правильно ли решил? Интуитивно составил системы, а как же доказать, что других вариантов нет, если их действительно нет?

[Someone]

Keter в сообщении #559933 писал(а):

$\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{t^3-t+1}=\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{t^3-t}$

А если попробовать возвести обе части в куб?

[Алексей К.]

$x=41+29\sqrt2$ подходит, однако...

[mihailm]

В нестандартных методах решения уравнений и неравенств от Олехника и др. похожий пример есть

[Keter]

mihailm в сообщении #560017 писал(а):

В нестандартных методах решения уравнений и неравенств от Олехника и др. похожий пример есть

Спасибо, посмотрел. Действительно аналогичные системы, только вот они делают к ним переход через непонятную мне замену (может кто объяснит).

Применяя к моему примеру это должно выглядеть так:

дошли до выражения $\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{v+1}=\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{v}$
далее возводим в куб $\sqrt[3]{t(v+1)} (\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{v+1}) = \sqrt[3]{v(t+1)} (\sqrt[3]{v}+\sqrt[3]{t+1})$

затем заменяя выражение $\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{v+1}$ на $\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{v}$ получим уравнение, являющееся следствием исходного (это то, что мне не понятно)

$(\sqrt[3]{v}+\sqrt[3]{t+1}) (\sqrt[3]{t(v+1)}-\sqrt[3]{v(t+1)})=0$
решая, получаем аналогичные ответы.

-- 14.04.2012, 19:01 --

Алексей К. в сообщении #559993 писал(а):

$x=41+29\sqrt2$ подходит, однако...

А как это проверить??

[Praded]

Someone в сообщении #559964 писал(а):

Keter в сообщении #559933 писал(а):

$\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{t^3-t+1}=\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{t^3-t}$

А если попробовать возвести обе части в куб?

Так это можно и без замен делать.

[Keter]

Можно, просто так писать меньше))

[Praded]

Keter в сообщении #560037 писал(а):

...получим уравнение, являющееся следствием исходного (это то, что мне не понятно)

А вы на своё первое уравнение в цитируемом сообщении посмотрИте. Разве это не то, что вам надо?

[Keter]

Не совсем понял, что Вы имели ввиду...

-- 14.04.2012, 19:14 --

Всё разобрался, теперь ясно)) всё так просто оказалось.

-- 14.04.2012, 19:17 --

С решением разобрались.

Осталась интрига, внесенная Алексей К. Таинственный корень, который нужно проверить $x=41+29\sqrt2$

[Praded]

Keter
"...дошли до выражения $\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{v+1}=\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{v}$...
затем заменяя выражение $\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{v+1}$ на $\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{v}$ получим уравнение, являющееся следствием исходного (это то, что мне не понятно)"

А вы сравните две строчки.

Раз разобрались, то хорошо. Это моё сообщение тому, у кого остались вопросы.

[mihailm]

Keter в сообщении #560037 писал(а):

...получим уравнение, являющееся следствием исходного (это то, что мне не понятно)...

Тут сразу расстраиваться не стоит, это многим непонятно))), точнее почему именно следствие то ясно, а вот почему неравносильность (и когда равносильность) это довольно тонко

[nnosipov]

Keter в сообщении #560047 писал(а):

Осталась интрига, внесенная Алексей К. Таинственный корень, который нужно проверить $x=41+29\sqrt2$

Действительно, интрига. А в 5-ю степень $1+\sqrt{2}$ возводить не пробовали?

[Keter]

И вот уже нет интриги

[Алексей К.]

Keter в сообщении #560069 писал(а):

И вот уже нет интриги

Прям хоть в баню не ходи... Пока сходил --- всё порушили.

[Keter]

С лёгким паром )