Я серьезно. Вы пропагандируете важность для физики бесконечномерности группы (локальных, а иногда и глобальных) конформных преобразований, мотивируя это (в частности) двумерным евклидовым случаем. Давайте вот про него Вы (если несложно) кратко и скажете, какая именно физика отсюда возникает. Пока что было сказано, что в двумерном случае есть метод комплексного потенциала, которых позволяет точно решать некоторые задачи электростатики.
Давайте попробую, только от Вас попрошу не придирок к строгости применения отдельных терминов, а возражений (если будут) по существу. А так же я не стану стремиться к краткости, так как не уверен, что из за разных способов мышления Вы поймете мои попытки правильно..
Итак, имеем математический факт, что на евклидовой плоскости реализуется трехпараметрическая группа изометрических преобразований и бесконечномерное множество глобальных конформных преобразований. Предположим, что евклидова плоскость имеет, пусть и абстрактный, физический смысл (ясно, что реальная физика, как минимум, четырехмерна и двумерие, да еще без временного измерения, слишком тривиально и далеко от нашей четырехмерной реальности).
Что позволяют изометрические преобразования? - Осуществить параллельные переносы и повороты.
Если имеет физический смысл сама евклидова плоскость, то благодаря примененной группе симметрий должно оказаться физичным и преобразованное при помощи изометрических преобразований пространство. С этим, надеюсь, никто не станет спорить. Я не хочу сейчас касаться произвольных линейных преобразований, которые, на первый взгляд, так же приводят к не менее физичному двумерному пространству, а перейду к конформным преобразованиям. Весьма важным оказывается тут совсем иной аспект, а именно, что
все без исключения конформные преобразования евклидовой плоскости (при том, что их бесконечное множество) приводят так же к физически интерпретируемым пространствам и их содержанию. Только если конформное преобразование уже не принадлежит к изометрическим преобразованиям, получающееся двумерное многообразие уже не "пустое" как исходная евклидова плоскость, а наделено неким не тривиальным полем, а так же некими объектами, которые с этими полями оказываются тесно связанными (Во всяком случае, такая "активная" точка зрения на конформные преобразования имеет место в теории комплексного потенциала и в его приложениях к физике). В частности, одно из простейших нелинейных конформных преобразований евклидовой плоскости, которое проще всего проиллюстрировать, указав на его связь с элементарной аналитической функцией комплексной переменной - логарифмической. При преобразовании связанном с данной функцией, евклидова плоскость переходит в себя (преобразованное пространство остается плоским и на нем можно оставить прежнюю евклидову метрику), только на ней появляется центрально-симметрическое поле, а так же особая точка в центре этого поля, в которой функция логарифма теряет аналитичность (а задаваемое ею отображение - конформность). Важно тут то, что и такая уже существенно более сложная система имеет ни сколько не меньше физического смысла, чем исходная плоскость, правда о получившемся результате уже трудно сказать, что он столь же тривиален, как исходная "пустая" плоскость до преобразования.
Можно взять
любое другое конформное преобразование и можно быть уверенным, что его результатом будет так же некая система пространство+поле+источники(вихри), имеющая ни чуть не меньше физического смысла, чем исходная "пустая" плоскость. И тут совершенно не важно, с каким именно реальным физическим полем вы попытаетесь связать весь спектр получаемых при помощи бесконечного множества конформных преобразований ситуаций, главное тут, что не получается никаких несуразностей, которые не имеют отношения к физике.
Одна беда, все эти прелести имеют место лишь для двух измерений и без временной координаты. Если вы тоже самое попробуете проделать хотя бы для трехмерного евклидова пространства - ничего не получится. И одним из препятствий тут окажется отсутствие в трехмерии бесконечного множества конформных преобразований и связанных с ними нелинейных симметрий. А без симметрий (как я уверен) физичность ситуации до и после преобразования - не сохраняется. Та же самая неприятность поджидает, и в четырехмерном пространстве Минковского, и в любом другом пространстве-времени с квадратичным типом метрики.
Но из этого правила есть замечательное исключение - двумерная
псевдоевклидова плоскость или двумерное пространство-время. Tут как и на евклидовой плоскости имеется бесконечное множество конформных преобразований. Какой логический вывод сам собой должен напрашиваться в связи с этим геометрическим фактом? На мой взгляд, совершенно естественный, а именно, что если имеет физический смысл двумерное псевдоевклидово пространство-время (тут к этому утверждению нужно относиться с той же долей абстрактности двумерия, что и выше к евклидову двумерию, мы то ведь знаем, что реальность четырехмерна..), то точно так же физический смысл обязаны иметь и пространства, полученные при конформных преобразованиях (на то ведь они и связаны с нелинейными непрерывными симметриями). Более того, тут так же при нелинейных конформных преобразованиях не совпадающих с изометрическими, помимо плоского пространства-времени должны появляться поля и связанные с ними особые области (источники и вихри, только гиперболические). Что интересно, самый простой путь к источникам (и вихрям) в двумерном пространстве времени тут так же пролегает через логарифмическую функцию, только уже не на комплексной переменной, а на двойной..
У источников и вихрей псевдоевклидовой плосоксти не сложно разглядеть важные отличия от их аналогов на евклидовой плоскости. В частности, связанные с тем, что особая точка в евклидовом пространстве после конформного преобразования обычно интерпретируется как частица, порождающая некое поле вокруг, тогда как особые точки возникающие после конформных преобразований в двумерном пространстве-времени, следует интерпретировать уже как особые события, с каждым из которых так же логично связывать порождаемое ими поле. Иными словами
все без исключения конформные преобразования двумерного пространства-времени должны иметь такую же простую и наглядную физическую интерпретацию в виде не тривиальных систем плоскость+поле+источники(вихри), только с заменой пространства на пространство-время. Тут все элементарно, за исключением того, что не привычно. В некоторм смысле, мы тут имеем переход от физики элементарных частиц к физике элементарных событий. Когда фундаментальная роль от мировых линий элементарных частиц и взаимодействий (силовых полей) между ними переходит к элементарным событиям и взаимодействиям (тут поля имеют уже не силовую прирду) между ними. Естественно, с очень неудобным ограничением, что кроме временнОго измерения тут всего одно пространственное измерение, чего для нормальных физических приложений крайне мало.
Но тут на помощь приходит другой математический факт, а именно, что двумерная псевдоевклидова плоскость это просто частный случай финслеровых линейных пространств с метрикой Бервальда-Моора. И в отличие от неприятного момента в ряду евклидовых пространств, где множество конформных преобразований было только в двух измерениях, в случае финслеровых многообразий Бервальда-Моора конформные преобразования образуют бесконечное множество при любой натуральной размерности.
Что это означает, для физических приложений? На мой взгляд то, что если имеет физический смысл четырехмерное пространство Бервальда-Моора (примерно такой же, как четырехмерные пространства Галилея и Минковского, но со своей неизбежной спецификой), то точно такой же физический смысл будут иметь все плоские четырехмерные многообразия, полученные после
произвольного конформного преобразования, коих тут бесконечное множество. При этом автоматически получаются уже четырехмерные поля и связанные с ними особые события (гиперболические аналоги источников и вихрей).
Но и этим дело не ограничится. Конформные преобразования для четырехмерного финслерова пространства с метрикой Бервальда-Моора не являются самыми интересными из метрически выделенных преобразований. При конформных преобразованиях сохраняются углы. То есть, второй из всего двух фундаментальных метрических параметров, имеющих место быть в пространствах с квадратичным типом метрики. В финслеровом случае, кроме длин и углов (интервалоа и гиперболических углов) имеют место столь же естественные более интересные метрические параметры (назовем их полиуглами). Их фиксация в качестве инвариантов, когда длины и углы до и после преобразования могут не сохраняться, приводит к существенно более богатым и сложным множествам преобразований, чем конформные. И что самое главное, я с очень высокой степенью уверенности имею наглость утверждать, что получаемые после таких (назовем их поликонформными) преобразований пространства, поля и источники (вихри) обязаны иметь физический смысл, как и исходное "пустое" четырехмерное пространство Бервальда-Моора. Таким образом, дело, на мой взгляд, за тем, что бы доказать, что четырехмерный "пустой" Бервальд-Моор ни чуть не более чужд для физики (геометрии) реального Мира, чем четырехмерное пространство-время Галилея или Минковского. На мой взгляд, недавно проведенные нашим маленьким коллективом эксперименты, достаточно красноречиво подтверждают такую гипотезу. Во всяком случае, доклады на тему этих экспериментов в целом ряде специальных конференций не вызвали резкого неприятия среди физиков.
Уф-ф-ф. Кажется, почти все сказал, что хотел. Неужели что-то тут может остаться не понятным или не прозрачным?
Извиняюсь за очередную "простынь", но я десятки раз пробовал разговаривать со своими более профессионально подготовленными коллегами, но понимание возникало только тогда, когда разговор продолжался не менее нескольких недель кряду. Возможно, это связано с моим нежеланием учиться языку современной физики и математики, возможно с какими-то иными моими недостатками, но факт, что со многими понимание, в конце концов, устанавливалось. Хотя, не скажу, что со всеми.. На форумах, почему-то, такого понимания еще ни разу не возникало. Возможно потому, что специалисты по финслеровым пространствам тут совсем не появляются, а может, потому что это не место для понимания вообще, а может еще что мешает..