Две задачи на системы векторов

[Demurg2000]

Кажется,что довольно очевидные утверждения,но как правильно построить док-во?
1.Пусть ранг системы векторов $x_1,x_2,...,x_m $ равен $ r $, и вектор $y$,не разлагается по системе векторов $x_1,x_2,...,x_m $.Как доказать,что ранг системы векторов $x_1,x_2,...,x_m $ равен $ r+1 $?
2.Каждый вектор системы $x_1,x_2,...,x_m $ разлагается по своей части $y_1,y_2,...,y_k $.Как доказать,что каждый базис системы векторов $y_1,y_2,...,y_k $ является базисом системы $x_1,x_2,...,x_m $?

[RIP]

Просто доказывается по определениям.
Только в первой задаче, я так полагаю, подразумевается, что ранг системы $y,x_1,\ldots,x_m$ равен $r+1$.

[Demurg2000]

RIP писал(а):

Только в первой задаче, я так полагаю, подразумевается, что ранг системы $y,x_1,\ldots,x_m$ равен $r+1$.

Да,с $y$.

[Demurg2000]

Дайте,пожалуйста,ссылочку на книгу,где подробно и доступно изложена эта тема...или помогите разобраться здесь с данными задачами...(если возможно конечно),в принципе,какую-то литературу по данной теме я почитал и мне нужно понять суть построения док-ва данных утверждений...
Заранее благодарен!

[Lion]

№1. Что значит, что ранг системы векторов $x_1,...,x_m$ равен $r$? Это означает, что с точностью до перенумерации вектора $x_1,...,x_r$ линейно независимы и через них выражаются все остальные $x_i$. Ясно, что ранг системы векторов $x_1,...,x_m,y$ не может быть больше $r+1$, поскольку через вектора $x_1,...,x_r,y$ все выражается. Пусть ранг системы меньше $r+1$, тогда любые $r+1$ векторов линейно зависимы, в частности, зависимы ветора системы $x_1,...,x_r,y$. Если $y$ выражается через остальные, то мы получаем противоречие с условием. Значит, коэффициент в линейной комбинации при $y$ равен 0. Но это означает зависимость векторов $x_1,...,x_r$ --- противоречие с предположением об их линейной независимости.

По-моему, строже некуда...

Вторую задачу попробуйте сделать сами.

Вообще, эта тема излагается в любом учебнике по алгебре, см., например, Винберг "Курс алгебра", или Кострикин "Алгебра", т.1.

[Demurg2000]

Хорошо,спасибо большое!Будем разбираться!

[имя]

2Demurg2000
прочтите лекции Александрова, оранжевый кирпич. там,напр., перестановки объясняются историей про лодку, в которой в непогоду гребцам надо пересаживаться. замечательная книга, хотя их в нашей библиотеке две, в мехматянской четыре чтоли. найдите, не пожалеете.