Плотность распределения [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Помогите пожалуйста решить такую задачку.
Плотность совместного распределения величин $\xi, \eta$ равна $p_{\xi, \eta}(x, y)=I_{\{0\leq x \leq 2, 0\leq y \leq 1 -\frac{x}{2}\}}$. Найти плотность распределения с.в. $\xi$.


Что означает символ $I_{\{0\leq x \leq 2, 0\leq y \leq 1 -\frac{x}{2}\}}$? И как вообще решить задачу?

С уважением, Whitaker.

[--mS--]

Whitaker в сообщении #559057 писал(а):

Что означает символ $I_{\{0\leq x \leq 2, 0\leq y \leq 1 -\frac{x}{2}\}}$? И как вообще решить задачу?

Означает индикатор, оно же характеристическая функция множества. Единица, если точка в множестве, и ноль иначе.

Наверное, следует вспомнить, как по плотности совместного распределения ищутся плотности координат вектора.

[Whitaker]

--mS--
извините, а зачем тогда это условие -- $\{0\leq x \leq 2, 0\leq y \leq 1 -\frac{x}{2}\}$?

[--mS--]

Это не условие. Это множество. Характеристическая функция которого обозначена как $I_{\{\ldots\}}$.

[Whitaker]

--mS-- в сообщении #559067 писал(а):

Наверное, следует вспомнить, как по плотности совместного распределения ищутся плотности координат вектора.

--mS--
честно говоря я не помню это.

[_hum_]

\begin{multline*} F_\xi(x) = \mathrm{P}\big(\xi \in (\!-\infty, x]\big) = \mathrm{P}\Big((\xi,\eta) \in (\!-\infty, x]\times (\!-\infty,\! +\infty]\Big) = \int_{(\xi,\eta) \in (\!-\infty, x]\times (\!-\infty,\! +\infty]}f_{(\xi,\eta)}(x',y')dx'dy' = \\= \int_{-\infty}^x\left(\int_{-\infty}^ {+\infty}f_{(\xi,\eta)}(x',y')dy'\right) dx'.\end{multline*}
Значит,

$$f_\xi(x) = F_\xi'(x) = \int_{-\infty}^ {+\infty}f_{(\xi,\eta)}(x,y')dy'.$$

[Whitaker]

_hum_
скажите пожалуйста, а верна ли такая формула $p_{\xi, \eta}(x, y)=p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)$ для независимых с.в. $\xi, \eta$?

[ИСН]

Верна. Но для независимых.

[Whitaker]

ИСН
а нельзя ли ее тогда как нибудь применить в задаче?

[svv]

Раз для независимых, тогда нельзя.
Дверь, в которую Вам надо войти, указал _hum_ (последняя формула). Интеграл вычисляется устно.

[Whitaker]

Получаем мы значит такой интеграл:
$f_{\xi}(x)=F'_{\xi}(x)=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}f_{(\xi,\eta)}(x, y')dy'$.
А у нас по условию: $f_{(\xi,\eta)}(x, y)=I_{\{0\leq x \leq 2, 0\leq y \leq 1-\frac{x}{2}\}}$
Не совсем понимаю, а как вычислить такой интеграл?

[ИСН]

Ну Вы понимаете, что такое $I\{...\}$? Ведь это функция от двух переменных. Какая?

[Whitaker]

$0 \leq x \leq 2, 0\leq y \leq 1-\frac{x}{2}$

[_hum_]

Whitaker, вас немного запутали с не совсем корректными обозначениями.

Пусть $G\subset X$ - произвольное подмножество некоторого пространства $X$. Функцию $I_G: X \rightarrow \{0,1\}$ называют индикаторной функцией множества $G$, если
\begin{align*} I_G(x) = \begin{cases} &1, \text{ если }x\in G\\ &0, \text{ иначе. } \end{cases} \end{align*}

В вашем случае

$$X = \mathbb{R}^2,\quad G = \Big\{(u,v) \in \mathbb{R}^2:0 \leqslant u \leqslant 2, \,0\leqslant v \leqslant 1-\frac{u}{2}\Big\},$$

то есть, по-хорошему, надо писать не

Whitaker в сообщении #559057 писал(а):

$p_{\xi, \eta}(x, y)=I_{\{0\leq x \leq 2, 0\leq y \leq 1 -\frac{x}{2}\}}$

а
$ p_{\xi, \eta}(x, y)= I_{\Big\{(u,v) \in \mathbb{R}^2:\,0 \leqslant u \leqslant 2, \,0\leqslant v \leqslant 1-\frac{u}{2}\Big\}}\big((x,y)\big)$

[--mS--]

Давайте, я немного побуду ТС, тем более, что он уже давно только вопросы задаёт, а его действий при этом не видно. А в каких пределах надо интегрировать? А как проинтегрировать в этих пределах единицу?