Задание по математическому анализу

[alcoholist]

Padawan в сообщении #558652 писал(а):

Если бы квантора не было, то утверждение касалось бы всего двух точек -- $x$ и $x_0$.

ну, это уже буквоедство... конечно надо читать "как только $f(x)\in...$, так сразу $x\in...$", т.е. $A(x)\Rightarrow B(x)$

[Padawan]

alcoholist в сообщении #558654 писал(а):

Padawan в сообщении #558652 писал(а):

Если бы квантора не было, то утверждение касалось бы всего двух точек -- $x$ и $x_0$.

ну, это уже буквоедство... конечно надо читать "как только $f(x)\in...$, так сразу $x\in...$", т.е. $A(x)\Rightarrow B(x)$

Тема такая...

[subzer0]

Я так понимаю, что предполагается для $\forall x$, т.к. под x у нас не фиксированное число, а любое в $\varepsolon$ окрестности точки $x_{0}$.
Так, с вашим утверждением на счет $f(x)=f(x_{0})$ при $|x-x_{0}|>\varepsilon$ наверное и соглашусь, хоть для $\delta$ и строгое неравенство, но мне кажется, что это не главное, важно почему же функция себя так ведет в окрестности $\varepsilon$

[gris]

Лучше сказать в $\varepsilon -$окрестности $x_0$.
Дело в том, что условие не накладывает никаких ограничений на поведение функции в этой окрестности.
Оно накладывает ограничения только на поведение функции вне этой окрестности: там запрещается ненулевое отклонение от $f(x_0)$, причём именно из-за строгости хотя бы одного из неравенств $|f(x) - f(x_{0})|< \delta$ и $\delta>0$.

Ибо, если бы мы написали $\exists\varepsilon>0\, \forall\delta\geqslant 0: |f(x) - f(x_{0})|\geqslant \delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$, то функция вне окрестности не могла бы быть определена.


Впрочем, Вашу идею с асимптотой можно реализовать в функции, определённой на всей числовой оси и непрерывной везде, кроме некоторой точки $x_0$ с условием:

$\forall\delta>0\, \exists\varepsilon>0: |f(x) - f(x_{0})|<\delta \Rightarrow|x - x_{0}|>\varepsilon$

Хотя я кажется понял, в чём Ваше затруднение. В неправильном использовании эпсилон и дельты.
Вы, вероятно, считаете, что условие $|f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$ автоматически влечёт $|f(x) - f(x_{0})|\leqslant\delta \Rightarrow|x - x_{0}|\geqslant\varepsilon$? Да нет, показалось.

[subzer0]

Нет, я так не считал и не считаю). Я не понимаю, как ведет себя функция именно в $\varepsilon$ окрестности $x_{0}$, что в этой окрестности разница между $f(x_{0})$ и $f(x)$ больше любого числа.

[gris]

В этом Вы ошибаетесь. Когда я говорю, что пою только в ванной, это значит лишь только то, что вне ванной я не пою. Но я не обязан петь в ванной. Функция может быть тождественно равна нулю и удовлетворять условию задачи. Проверьте.

[subzer0]

Так, я понял вашу логику, но вот не пойму, сказано же, что существует такое \varepsilon что для любого \delta, абсолютно для любого, разность будет больше, мы же не фиксируем \delta. Или это тут не важно? Важно то, что вне этой окрестности функция ведет себя как константа? А при любой разности ( не важно большой или маленькой) функция всегда находится в \varepsiln окрестности. И не важно каким образом она так себя внутри ведет?

[gris]

Да. То, что для любого дельта разность значений больше него является условием. Оно может и не выполняться. Что происходит в случае выполнения нам сказано: точка лежит в окрестности. А вот в случае не выполнения никаких указаний нет. То есть внутри окрестности для любого положительного дельта неравенство может для одних точек выполняться, а для других не выполняться. Разность значений может быть и нулевой.

[subzer0]

И все же остался какой-то осадок непонимания, вот сказано же, существует такое $\varepsilon$, что для любого, сколь угодно большого $\delta$ выполняется ..., недопонимаю, почему не важно, как себя функция внутри ведет, получается, что "любое" не подразумевает, что мы берем сами это число ($\delta$) , а как бы функция сама его определяет своим поведением?

[gris]

Наконец-то я понял в чём дело. Обычно при записи выражений с кванторами и стрелочками мы не всегда расставляем дополнительные двоеточия и скобки, полагая, что интерпретация логического выражения очевидна и однозначна. Если бы условие задачи было записано так (Зорич-стайл):

$\exists\varepsilon>0\quad \forall\delta>0\quad (|f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon)$

то никакого недопонимания не возникло бы. Хотя я не знаю, как можно интерпретировать первоначальную конструкцию по-другому.

Так? $(\exists\varepsilon>0\quad \forall\delta>0\quad (|f(x) - f(x_{0})|>\delta)) \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$

Непонятно, что там делать с влечением. В любом случае оно не обязывает условие выполняться. Да и не существует вещественнозначной функции, хоть в одной точке большей любого числа.

Зорич, кстати, не советовал чересчур увлекаться логическим формализмом в матанализе, по крайней мере на первоначальном этапе его изучения (самый первый параграф "Логическая символика" его учебника).

Буквоедство, как и было сказано.

[Maslov]

Попробую и я свои 5 копеек положить.

subzer0, забудьте пока вообще про $\delta$

Вот такое условие понятно как интерпретировать?

$\exists\varepsilon>0: |f(x) - f(x_{0})|>0 \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$

Или, что то же самое

$\exists\varepsilon>0: f(x) \ne f(x_{0}) \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$

Или, что то же самое

$\exists \varepsilon > 0: |x - x_0| \geqslant \varepsilon \Rightarrow f(x) = f(x_0)$

[subzer0]

$(\exists\varepsilon > 0$ $\forall\delta>0$ ($(f(x) - f(x_{0})>\delta)) =>|x - x_{0}|<\varepsilon$
По-моему такая конструкция не отличается от начальной, хотя я такой не предполагал.
Я все понял, вот эта конструкция
$\exists\varepsilon > 0$ $(f(x) - f(x_{0})>0 =>|x - x_{0}|<\varepsilon$ ( я просто думал, что дельта берется заранее любое, и что какое бы большое мы не взяли, разность всегда должна быть больше, ну читается же "существует такое епсилон для которого при любом дельта", вот неоднозначно для меня было))
в сочетании с

Цитата:

В этом Вы ошибаетесь. Когда я говорю, что пою только в ванной, это значит лишь только то, что вне ванной я не пою. Но я не обязан петь в ванной. Функция может быть тождественно равна нулю и удовлетворять условию задачи. Проверьте.

внесли полную ясность, большое спасибо.