Что такое треугольник?

[arqady]

Joker_vD в сообщении #558149 писал(а):

arqady в сообщении #557769 писал(а):

Понимаем то же самое. Просто имеется понятие плоского треугольника (многоугольника). Слово "плоский" договариваются опускать, когда переходят к понятию площади.

Ага. Т.е. я могу говорить "плоская окружность" вместо "круг"?

Лучше не надо, поскольку определения плоской окружности не было дано.

Joker_vD в сообщении #558149 писал(а):

Странная терминология, ну где вы видели неплоский треугольник? Да и потом, "плоский" = "лежащий в какой-то плоскости", а не "содержащий область на плоскости"

Важно не название (тоже важно, конечно, но второстепенно. Лучше, чтобы название было удачным), а то понятие, которое за этим названием скрывается. В тот момент, когда становится достаточно понятно, о чём идёт речь, некоторые слова можно опустить. Важно начать правильно думать.

Смотрите, разрушить всегда проще, чем создать.
Например, по Вашей логике кардинальные числа мы у кардиналов должны искать? И где они у них и в каком месте? Поедем узнавать в Ватикан? Вот Вы и поезжайте, а мы тем временем теорией множеств займёмся, или площади считать начнём. Чувствуете разницу?

-- Пн апр 09, 2012 02:52:16 --

arseniiv в сообщении #558156 писал(а):

Да, переходя к четырёхугольникам, можно заметить, что под плоским четырёхугольником понимают вроде бы только тот, который лежит в плоскости безотносительно к тому, это множество отрезков или область.

Обычное совпадение названий. Это явление встречается на каждом шагу и не только в математике. Из контекста всегда понятно, о каком понятии идёт речь. Тем более, слово "плоский" договариваемся в дальнейшем опускать.
Не понимаю, зачем обращать внимание на смысл слова плоский? Важно понятие, которое скрывается за названием плоский треугольник.
Возьмём понятие плоский угол (оно необходимо, например, для правильного определения дуги окружности). Если мы будем думать о том, что угол он и в Африке плоский, то лишим себя возможности двигаться дальше.
Просто берём эти названия, как одно слово: "плоский треугольник" или "плоский угол".

[Munin]

В слове "плоский угол" часть "плоский" присутствует затем, чтобы отличать от других слов, например, "телесный угол". Для предлагаемого слова "плоский треугольник" такой мотивации нет, единственная его роль - замещать прежнее, простое и общераспространённое слово "треугольник".

[arqady]

Munin в сообщении #558232 писал(а):

В слове "плоский угол" часть "плоский" присутствует затем, чтобы отличать от других слов, например, "телесный угол".

Дались Вам эти слова. Понятия важны. И понятие плоский угол важно и понятие телесный угол важно.
Почему так назвали - дело десятое.

Munin в сообщении #558232 писал(а):

Для предлагаемого слова "плоский треугольник" такой мотивации нет, единственная его роль - замещать прежнее, простое и общераспространённое слово "треугольник".

Опять же здесь фигурируют разные понятия, поэтому и стараются их называть вначале разными словами.
Мотивация, конечно, есть. Хотя бы из-за площади, о которой здесь уже говорили.
Другое дело, зачем вообще это понятие - треугольник как ломаная? Казалось бы, понятия нет и проблемы нет! Ан нет! Если мы хотим детишек учить правильно думать, так необходимо нам понятие треугольника как ломаной.
А простота часто ведёт к грубым ошибкам. Я не против простоты, а только за! Я против простоты в ущерб правильному мышлению.
Понятия в математике возникают из желания правильно подумать. Вообще математика это и есть область человеческой деятельности, в которой он пытается понять, что такое правильное мышление.
Именно для этой неизбывной задачи и создаётся специальный язык, математический язык, описывающий математические понятия.
Как-то так это устроено.

[Munin]

arqady в сообщении #558241 писал(а):

Дались Вам эти слова. Понятия важны.

Я согласен, что понятия важны. А слова должны быть всего лишь удобны. Так вот, понятие "треугольник" давно установилось. И вот вы предлагаете для него новое слово. Оно неудобное, и почему вы его предлагаете - непонятно. Ровно это и вызывает недоумение.

[arqady]

Для Вас неудобно, для меня удобно. Видимо виртуально это не объяснить.
Кто прав? Для меня критерием явлются успехи моих учеников и я убеждён в своей правоте.

[Munin]

arqady в сообщении #558465 писал(а):

Для Вас неудобно, для меня удобно. Видимо виртуально это не объяснить.

Не объяснить даже, чем именно удобно?

[arqady]

Munin в сообщении #558469 писал(а):

arqady в сообщении #558465 писал(а):

Для Вас неудобно, для меня удобно. Видимо виртуально это не объяснить.

Не объяснить даже, чем именно удобно?

Попробую. Многоугольник (и треугольник, как частный его случай) лучше определять как замкнутую ломаную из-за проблем с его углами в невыпуклом случае. А угол лучше определять, как объединение двух лучей с общей начальной точкой, не лежащих на одной прямой. В таком случае угол однозначно определяется своими сторонами и градусная мера угла побежит между $0^{\circ}$ и $180^{\circ}$.
Геометрия становится достаточно строгой и превращается в отличный полигон учить детишек правильно думать.
Подробнее смотрите в книге А.В.Погорелов "Элементарная геометрия"(планиметрия), Наука, 1969.
Великая книга!

[Munin]

arqady в сообщении #558491 писал(а):

Многоугольник (и треугольник, как частный его случай) лучше определять как замкнутую ломаную из-за проблем с его углами в невыпуклом случае.

Я про этот случай говорил, ближе к началу темы. Он неудобен самопересечениями, самоналожениями, и в конечном счёте требует введения ориентации для подсчёта площади, а площадь, соответственно, оказывается, может иметь знак плюс или минус. (Для площади плоской фигуры в трёхмерном пространстве, соответственно, площадь будет вектор.) Всё это не слишком удобно давать в самом начале знакомства с плоскими фигурами, это уже для опытных людей, скажем, приступающих к топологии, и/или к дифформам.

arqady в сообщении #558491 писал(а):

А угол лучше определять, как объединение двух лучей с общей начальной точкой, не лежащих на одной прямой.

Шикарно. В вашем определении развёрнутый угол и полный угол - не углы.

arqady в сообщении #558491 писал(а):

Геометрия становится достаточно строгой

Она и так достаточно строгая. Без того насилия, которое вы рекламируете.

arqady в сообщении #558491 писал(а):

Подробнее смотрите в книге А.В.Погорелов "Элементарная геометрия"(планиметрия), Наука, 1969.Великая книга!

Книга-то хорошая, сам считаю её одним из лучших учебников по геометрии. Но вот с тем, что вы продвигаете, она не очень-то совпадает.

[Munin]

Munin в сообщении #558520 писал(а):

Книга-то хорошая, сам считаю её одним из лучших учебников по геометрии.

А, нет, я перепутал с другой книгой Погорелова. Но всё равно треугольник там определяется способом, процитированным выше в этой теме Профессором Снэйп-ом, а не как у вас.

[arqady]

Munin в сообщении #558520 писал(а):

arqady в сообщении #558491 писал(а):

Многоугольник (и треугольник, как частный его случай) лучше определять как замкнутую ломаную из-за проблем с его углами в невыпуклом случае.

Я про этот случай говорил, ближе к началу темы. Он неудобен самопересечениями, самоналожениями, и в конечном счёте требует введения ориентации для подсчёта площади, а площадь, соответственно, оказывается, может иметь знак плюс или минус.

Предупреждал же Вас, что виртуально это не объяснить.
Не давал я определения многоугольника, а обращался к Вам, как к человкеку, который понимает, о чём речь или хочет понять.
Многоугольник это замкнутая ломаная без самопересечений, никакие два соседних звена которой не лежат на одной прямой.

Munin в сообщении #558520 писал(а):

arqady в сообщении #558491 писал(а):

А угол лучше определять, как объединение двух лучей с общей начальной точкой, не лежащих на одной прямой.

Шикарно. В вашем определении развёрнутый угол и полный угол - не углы.

Да они не углы. Это вообще сорные понятия, мешающие правильно думать.

Munin в сообщении #558520 писал(а):

arqady в сообщении #558491 писал(а):

Геометрия становится достаточно строгой

Она и так достаточно строгая. Без того насилия, которое вы рекламируете.

До Погорелова она была ужасна. И не реклама это, а проверенный на практике подход.
Профессора Снэйпа, судя по всему, плохо учили этим методом.
Ну а Вы не имеете вообще никакого представления, о чём речь. Почитайте указанную мной книжку.
Правда, если Вы это будете делать, в том же стиле, как общались со мной, то эта затея обречена на провал.

[Munin]

arqady в сообщении #558532 писал(а):

Не давал я определения многоугольника, а обращался к Вам, как к человкеку, который понимает, о чём речь или хочет понять.Многоугольник это замкнутая ломаная без самопересечений, никакие два соседних звена которой не лежат на одной прямой.

Хорошо. Можно и так. Правда, надо ещё дать определение самопересечения... ладно, это мелочь.

arqady в сообщении #558532 писал(а):

Да они не углы. Это вообще сорные понятия, мешающие правильно думать.

Это частные случаи, позволяющие формулировать более общие утверждения, не спотыкаясь на всяких выколотых точках. Хотя, согласен, это преимущество при преподавании, особенно начинающим, далеко не очевидно.

arqady в сообщении #558532 писал(а):

Ну а Вы не имеете вообще никакого представления, о чём речь. Почитайте указанную мной книжку.

А это что-то даст? Вы меня уже убедили в том, что определять треугольник как многоугольник - ломаную, может быть удобно. Правда, в Погорелове так не делается, и понятия "плоский треугольник" там не вводится (опять же, а всё-таки, разве бывают неплоские?).

[BVR]

Munin в сообщении #557665 писал(а):

А разве треугольник уже в систему аксиом входит

Нет. Но для формулировки аксиомы Паша вводится понятие треугольника.
У Александрова угол - это часть плоскости. А, значит, треугольник он вынужден считать частью плоскости, чтобы про его углы говорить.
При этом никаких затруднений не вызывает в преподавании ни тот, ни другой подход.

[Sonic86]

Профессор Снэйп в сообщении #554041 писал(а):

Мы в конце 1980-ых геометрию учили по Погорелову. Там вроде было какое-то "определение", не помню его дословно. Что-то насчёт того, что "треугольником называется фигура, составленная из трёх не лежащих на одной прямой точек плоскости и трёх соединяющих их отрезков". И где-то в середине учебника - вот такой вот маленький "шедевр"!

Цитата:

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании совпадают.

Доказательство. Равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ равен треугольнику $CBA$ по трём сторонам...

Никого ничто здесь не смущает?

Нашел в книжке Лорьера Системы искусственного интеллекта такое на стр.14

Лорьер писал(а):

Гелернтер (1960) показывает, что его программа доказательства теорем из школьной геометрии может работать лучше, чем его создатель! Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный, у которого два угла у основания (углы при вершинах $B$ и $C$) равны, программа, вместо классического доказательства, заключающегося в построении высоты, опущенной из вершины $A$ на основание, просто применяет теорему о равенстве треугольников $ABC$ и $ACB$! Результат очевиден...

Может это оттуда и взялось?...

[arseniiv]

Sonic86 в сообщении #583189 писал(а):

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$, у которого два угла у основания (углы при вершинах $B$ и $C$) равны

А что доказать-то?..

[master]

$S_1(s_1,L_1,...) , s_1 - min, L_1=(L_{11}(l_{11},A,B,T_{11}), L_{12}(l_{12},B,C,T_{12}), L_{13}(l_{13},C,A,T_{13})),$
$l_{11},l_{13},l_{13} - min, T_{11} \cap T_{12}=\varnothing...$
Последние предложение о множестве внутренних точек не обязательно.
Критерий минимальности: плоскость, отрезок.