Неравенство

[AnDe]

Как доказать, что $ax^b+b>bx^a+a$, если
1) $x>1$ или $0<x<1$
2) $b>a>0$

[alcoholist]

найдите минимум разности левой и правой части на $(0,+\infty)$

[PAV]

можно преобразовать неравенство так, чтобы все буквы $a$ были в одной части, а все буквы $b$ - в другой, и исследовать полученную функцию на монотонность

[AnDe]

alcoholist
А он разве есть на этом промежутке?
PAV
Да я сначала так и хотел сформулировать задачу. Тогда встает вопрос как доказать, что она монотонна.

[PAV]

Ну и какая функция получилась? Как выглядит эквивалентное неравенство, которое нужно доказать?

Разными способами монотонность функций можно доказывать. Как минимум есть три:

- вычитать из одного значения другое и сравнивать с нулем;
- делить одно на другое и сравнивать с единицей (если все одного знака);
- найти производную и изучить ее.

[AnDe]

PAV
$ \frac{x^b-1}{b} > \frac{x^a-1}{a}$
Буду пробовать)

[TR63]

Попробуйте использовать неравенство Юнга.

[AnDe]

TR63
Плохо, что при его доказательстве используется выпуклость логарифмической функции. Я к своему неравенству пришел при доказательстве выпуклости показательной функции.

[alcoholist]

Давайте совсем упростим: докажем, что $(1+t)^c>1+ct$ при $c>1$, $t\in(-1;0)\cup(0;+\infty)$

Вот для рациональных $c$ только бином Ньютона, кажется, и нужен

[TR63]

В моей книге доказательство простое, кажется, школьное. Надо уточнить. Позже.

[PAV]

AnDe
выпишите производную, это же элементарно делается. Тогда виднее и будет.

[Хорхе]

А как насчет того, чтобы взять простенькое неравенство и проинтегрировать?

(Опередили)

[TR63]

AnDe,

если Вы не хотите или не можете решать с помощью производной, то неравенство Юнга Вам не поможет, т.к. в нём используется производная, и решение получается частное, т. е. для ограниченной области. И надо знать, как его экстраполировать во внешнюю область (неограниченную). Думаю, что для Вашей задачи это не нужно. (А мне интересно: можно ли обойтись без производной, и, если нельзя, то почему? Но это совсем другая задача).