Теормех (Динамика). Двойной математический маятник

[Mikle_Finsky]

Здравствуйте. Не могли бы помочь мне разобраться в составление диф. ур-я, а если точнее в использование начальных условий.
Задача звучит так.
Общее условие:
Двойной маятник составлен из двух материальных точек M_1 и M_2 одинаковой массы m, невесомых стержней длины l_1l_2 и пружины жесткости с. Пружина поддерживается в горизонтальном положение с помощью невесомого ползуна D. При \varphi=0 пружина не напряжена.
Условие к заданию:
Пусть стержни OM1 и M1M2 движутся как одно тело \varphi=\psi. (надо заметить что углы есть функции от времени). Составить дифференциальное уравнение движения системы. Применить теорему об изменение кинетического момента. Найти зависимость угловой скорости маятника от угла \varphi, если в начальный момент времени \varphi_0=0 и точке M_2 сообщена скорость V_0

Вот мое решение:
Теорема об изменение кинетического момента системы относительно неподвижной оси OZ:

$$\frac {dK_O_z} {dt}=(M^e_O_z)$$

1)Составляю:

$${K_O_z}=m\cdot\dot{\varphi}\cdot\l^2_1+m\cdot\dot{\varphi}\cdot\((l_1+l_2)^2$$

2)Дифференцирую:

$$\frac {dK_O_z} {dt}=m\cdot\ddot{\varphi}\cdot\((l^2_1+(l_1+l_2)^2) \eqno(1)$$

3)Дальше составляю ур-е главного момента внешних сил относительно оси Oz:

$${M_O_z}=-mg\cdot\l_1\sin({\varphi})-mg\cdot\((l_1+l_2)\sin({\varphi})+c\cdot\l_1\sin({\varphi})\cdot\l1\cos({\varphi}) \eqno(2)$$

4) Приравниваю (1) и (2)

$$m\cdot\ddot{\varphi}\cdot\((l^2_1+(l_1+l_2)^2)=-mg\cdot\l_1\sin({\varphi})-mg\cdot\((l_1+l_2)\sin({\varphi})+c\cdot\l_1\sin({\varphi})\cdot\l1\cos({\varphi})\eqno(3) $$

5) Перехожу к новой независимой переменной $\varphi$. Для этого умножаю обе части (3) на $d{\phi}$, и, учитывая, что

$$\ddot{\varphi}=\frac{d{\dot{\varphi}}} {dt}=\frac{d{\dot{\varphi}}}{d{\varphi}}\frac{d{\varphi}}{dt} =\dot{\varphi}\frac{d}{d{\varphi}}\dot{\varphi}=\frac{1}{2}\frac{d}{d{\varphi}}{(\dot{\varphi})^2}$$

6) Получаю

$$\frac{m\cdot\((l^2_1+(l_1+l_2)^2)d{\dot{\varphi}}^2}{2}=(-mg\cdot\l_1\sin({\varphi})-mg\cdot\((l_1+l_2)\sin({\varphi})+c\cdot\l_1\sin({\varphi})\cdot\l1\cos({\varphi}))d{\varphi}\eqno(4) $$

А вот дальше надо бы воспользоваться начальными условиями. Но как? В некоторых задачках я посмотрел и попробовал сделать так.
1) В уравнение (4) принимаю $\varphi=\varphi_0=0$. Тогда остается

$$d{\dot\varphi}^2}=0 \eqno(5)$$

2) После интегрирования:

$$\dot{\varphi}(0)^2=C1\eqno(6)$$

Если учесть, что точке$ M_2$ была приложена при $\varphi=0$ скорость $V_0$, то значит $V_0=\dot{\varphi}(0)\cdot\((l1+l2)\Rightarrow \dot{\varphi}(0)=\frac{V_0}{(l1+l2)}$
3) Ответ:

$$\dot{\varphi}(0)=\sqrt{\frac{V_0}{(l1+l2)}}\eqno(7)$$

Решать задачу Коши научили, а применять решение к задачам из физики нет. Так что не пинайте (сильно) за какие либо ошибки :)

[ewert]

Mikle_Finsky в сообщении #557951 писал(а):

Двойной маятник составлен из двух материальных точек M_1 и M_2 одинаковой массы m, невесомых стержней длины l_1l_2 и пружины жесткости с. Пружина поддерживается в горизонтальном положение с помощью невесомого ползуна D.

Что, к чему, как, в какой последовательности и зачем прикреплено?... Кто такое ползун и где?... Ничего не понятно.

[Mikle_Finsky]

ewert
я же вроде картинку прикрепил, Вам ее не видно?

[ewert]

Mikle_Finsky в сообщении #557962 писал(а):

я же вроде картинку прикрепил, ее не видно?

Её тогда просто еще не было. Теперь появилась. Ползунок там, правда, экзотичен (как минимум к нему надо приварить по нормали стержень), ну да ладно.

Вот это уравнение

Mikle_Finsky в сообщении #557951 писал(а):

$$\frac{m\cdot\((l^2_1+(l_1+l_2)^2)d{\dot{\varphi}}^2}{2}=(-mg\cdot\l_1\sin({\varphi})-mg\cdot\((l_1+l_2)\sin({\varphi})+c\cdot\l_1\sin({\varphi})\cdot\l1\cos({\varphi}))d{\varphi}\eqno(4) $$

надо для начала тупо проинтегрировать. В результате получится как раз искомая зависимость, только с некоторой произвольной постоянноё. Вот эту-то постоянную и надо подгонять под начальные условия, а ещё раз интегрировать и ни к чему (да ничего и не вышло бы в элементарных функциях).

И, кстати, исправьте знаки в правой части -- там все силы возвращающие.

[Mikle_Finsky]

Так если я правильно понял, то:

$$\frac{m\cdot(l^2_1+(l_1+l_2)^2) d \dot{\varphi}^2}{2}=(-mgl_1\sin(\varphi)-mg(l_1+l_2)\sin(\varphi)-cl^2_1\sin(\varphi)\cos(\varphi)) d{\varphi}\eqno(1)$$

1)Интегрирую

$$\frac{m\cdot(l^2_1+(l_1+l_2)^2) \dot{\varphi}^2}{2}=(mgl_1\cos(\varphi)+mg(l_1+l_2)\cos(\varphi)+\frac{cl^2_1\cos(\varphi)^2}{2})+C_1\eqno(2)$$

2)Выделяю $\dot{\varphi}$ и получаю зависимость $\dot{\varphi}(\varphi)$

$$\dot{\varphi}(\varphi)=\sqrt{\frac{2mg\cos(\varphi)(2l_1+l_2)+cl^2_1\cos(\varphi)^2+2C_1}{m(l^2_1+(l_1+l_2)^2)}}\eqno(3)$$

3) Дальше из начальных условий, что $\dot{\varphi}(0)=\frac{V_0}{l_1+l_2}$ , получаю

$$\frac{V_0}{l_1+l_2}=\sqrt{\frac{2mg(2l_1+l_2)+cl^2_1+2C_1}{m(l^2_1+(l_1+l_2)^2)}}\eqno(4)$$

4) Возвожу обе части в квадрат (да, с самого начала поспешил) и получаю что

$${C_1}=\frac{({\frac{V_0}{(l_1+l_2)})^2\cdot\ m(l^2_1+(l_1+l_2)^2)-2mg(2l_1+l_2)-cl^2_1}}{2}\eqno(5)$$

5) Дальше я так понимаю надо подставить найденную константу в (3)

$$\dot{\varphi}(\varphi)=\sqrt{\frac{2mg\cos(\varphi)(2l_1+l_2)+cl^2_1\cos(\varphi)^2+({\frac{V_0}{(l_1+l_2)})^2\cdot\ m(l^2_1+(l_1+l_2)^2)-2mg(2l_1+l_2)-cl^2_1}}{m(l^2_1+(l_1+l_2)^2)}}\eqno(6)$$

Если я ничего не напутал, то получилось весьма весомо :)

[ewert]

Ну что получилось. Детали мне лень проверять, а в принципе вроде так.

[Mikle_Finsky]

ewert
Спасибо Вам огромное! :)