Доказать, что член последовательности -- полный квадрат

[wallflower]

Дана числовая последовательность

$$A_1=1,\quad A_2=-1,\quad A_n=-A_{n-1}-2A_{n-2}$$

Доказать, что при $n\ge 2$ число $2^{n+2}-7A_n^2$ является полным квадратом.

Пытался выразить $A_n$ в замкнутой форме -- получается жуть. По индукции не получается доказать индукционный шаг. Подскажите идею, пожалуйста.

[nnosipov]

wallflower в сообщении #557966 писал(а):

Пытался выразить $A_n$ в замкнутой форме -- получается жуть.

Да ладно. Обозначьте корни характеристического уравнения буквами $a$ и $2/a$ и вперёд. Такие задачи должны решаться механически, ведь нетривиальных тождеств с экспонентами не бывает.

[ИСН]

Зачем корни обозначать как бы то ни было, когда они известны?

-- Вс, 2012-04-08, 16:55 --

А, ну хотя да, можно.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #557978 писал(а):

Зачем корни обозначать как бы то ни было, когда они известны?

Чтобы писанины было меньше. Совершенно неважно, кто он такой есть этот $a$. Важно только то, что $a+2/a=-1$.

[wallflower]

Я не догоняю. У меня получилось

$$A_n=\frac{a^n-2^n/a^n}{1+2a},\quad a=\frac{-1+i\sqrt 7}2$$

Подставляю в $2^{n+2}-7A_n^2$:

$$2^{n+2}-\frac{7(a^n-2^n/a^n)^2}{(1+2a)^2}$$

А что дальше?

[nnosipov]

wallflower в сообщении #558016 писал(а):

А что дальше?

Поработать с полученным выражением. Причесать его. Для начала раскройте квадрат и приведите к общему знаменателю.

[wallflower]

Эм... Это и было причесанное , ибо при раскрытие скобок получается страшнее.

$$\frac{2^{n+2}+2^{n+4}a+2^{n+4}a^2-7\cdot a^{2n}-7\cdot 2^{2n}/a^{2n}+7\cdot 2^{n+1}}{(1+2a)^2}$$

Я надеялся, там какой-то трюк есть, чтобы раз и всё. А у меня уже три листа исписано. Так и задумано?..

-- 08.04.2012, 17:25 --

nnosipov в сообщении #557972 писал(а):

Такие задачи должны решаться механически, ведь нетривиальных тождеств с экспонентами не бывает.

А как сюда экспоненту прицепить?

[RIP]

Я бы сначала посмотрел, что такое $(1+2a)^2$.

[wallflower]

$-7$

Спасибо! Получилось.

[nnosipov]

wallflower в сообщении #558043 писал(а):

Получилось.

И не могло не получиться, если утверждение задачи верное.