Завяжем поле узлом!

[obar]

Когда-то давно читал, что Максвелл рассматривал вопрос о возможной топологии магнитного поля: можно ли "завязать" линии магнитного поля узлом? (не помню уже зачем ему это было нужно). Немного подумав, легко сообразить: да без проблем. Возьмем длинный гибкий соленоид и завяжем его узлом. Вместе с ним завяжутся узлом и магнитные линии. А можно ли придумать что-то более элегантное? Могут ли в простых системах существовать топологически нетривиальные конфигурации магнитного поля?

Рассмотрим соленоид в форме тора с $N$ витками из сверхпроводника. Выберем какую-нибудь линию магнитного поля вдоль оси этого соленоида. Эта линия обвивает провод $N$ раз. Назовем эту величину числом намотки. Эта величина будет топологическим инвариантом, т.к. при малом "шевелении" проводника число намотки не изменяется. Действительно, как известно, внутри сверхпроводника магнитное поле отсутствует (эффект Мейсснера). Значит, линии магнитного поля не могут пересечь контур (проводник). Кроме того, при непрерывном изменении контура конфигурация магнитного поля также меняется непрерывно, в то время как число намотки дискретно и меняется скачком. А теперь собственно вопрос. Начнем медленно растягивать соленоид, пока не вытянем его в кольцо. Что произошло с линиями магнитного поля? Они все теперь охватывают контур только один раз. Каким же образом "распутался" инвариант? Или причина в чем-то другом?

[Munin]

Причина в том, что линии магнитного поля - не сущности теории электромагнитного поля. Сущность там - векторное поле, а не его линии. Допустим, у нас однородное поле, и мы считаем, что из точки $(0,0,0)$ линия идёт в точку $(0,0,1),$ а из точки $(1,0,0)$ - в точку $(1,0,1).$ Добавив к этому полю незначительное возмущение, мы получим, что из точки $(0,0,0)$ линия идёт в точку $(\varepsilon_x,\varepsilon_y,1),$ а в прежнюю точку $(0,0,1)$ линия выходит из другой начальной точки $(\varepsilon_{0x},\varepsilon_{0y},0).$ Произошло "пересоединение" линий, причём без затрат энергии и вообще при пренебрежимо малом изменении физической системы.

Разовьём пример. Возьмём сверхпроводящее кольцо с током, каждая линия магнитного поля обходит это кольцо один раз. Проденем через кольцо не сверхпроводящий провод, и подадим на него малый ток. Линии поля будут образовывать разные намотки тора, рациональные - с многократными обходами кольца - и иррациональные, с бесконечным числом оборотов. Все эти варианты будут возникать непрерывно, и из-за ограниченной точности измерений мы не сможем сказать, с каким вариантом на самом деле имеем дело.

То есть, на самом деле, то, что вы называете инвариантом, - никакой не инвариант.

[dovlato]

Собс-нно, а что такое "число силовых линий"?
Разве можно предложить физический метод измерения их числа?
Или, иначе - физически определить, какой линии какая точка пространства принадлежит?

[obar]

dovlato в сообщении #558029 писал(а):

а что такое "число силовых линий"?

Понятия не имею. А где вы про это прочитали?

[obar]

Думаю, что все кто хотели уже высказались, поэтому выкладываю свою вариант.

Докажем вначале, что число намотки не сохраняется. Предположим обратное: если число намотки сохраняется, то и после растягивания соленоида в кольцо произвольная линия магнитного поля по-прежнему будет $N$ раз обвиваться вокруг проводника. Пусть кольцо расположено в плоскости $XY$ с центром в начале координат. Если бы описанное поле существовало, то у него была бы не нулевая знакопостоянная компонента $B_\varphi$ (цилиндрические координаты). Это, однако, невозможно, т.к. в таком случае циркуляция поля по произвольному замкнутому контуру $\gamma$, лежащему в плоскости $XY$ и охватывающему кольцо, была бы отлична от нуля. С другой стороны, в силу уравнения

$$ \oint_\gamma(\mathbf{B}\cdot\mathbf{dl})=\frac{4\pi}{c}\,I_\gamma $$

циркуляция должна равняться нулю, т.к. через контур $\gamma$ ток не течет.

(Оффтоп)

Вывод, что $B_\varphi=0$ можно сделать и без использования каких-либо уравнений. Направление $B_\varphi$ может определяться лишь направлением тока. Но ток $\mathbf{j}$ -- вектор, а магнитное поле -- псевдовектор и коллинеарность между ними не возможна.

Как же происходит "разматывание" числа намотки? Если провод не сверхпроводящий, то магнитные линии могут просто проходить через него "распутываясь". Для сверхпроводящего провода происходит что-то типа такого:

[Munin]

Я предложил другой вариант несохранения "числа намотки" вокруг сверхпроводящего провода, имхо, куда более мощный. И вообще, всё это выглядит скорее как провокация, поскольку чтобы каким-то фактом пользоваться, его надо сначала доказать, а вы предложили пользоваться "числом намотки" как инвариантом с бухты-барахты.

[obar]

Munin в сообщении #558708 писал(а):

Я предложил другой вариант несохранения "числа намотки" вокруг сверхпроводящего провода, имхо, куда более мощный.

А с моей точки зрения пример неудачный. Первоначальная конфигурация обладала аксиальной симметрией, которая при сколь угодно малом поле провода скачком нарушается. Это и обьясняет скачкообразное изменение картины линий магнитного поля в моент включения тока. После же включения картина меняется непрерывно, ни каких скачков не происходит. Тут все портит то, что

Цитата:

Линии поля будут образовывать разные намотки тора, рациональные - с многократными обходами кольца - и иррациональные, с бесконечным числом оборотов. Все эти варианты будут возникать непрерывно, и из-за ограниченной точности измерений мы не сможем сказать, с каким вариантом на самом деле имеем дело.

Если бы число обхода для любой линии поля было бы одинаково и изменялось при изменении тока -- это был бы хороший пример.

Munin в сообщении #558708 писал(а):

И вообще, всё это выглядит скорее как провокация

Именно. В этом и состояла задача: разобраться в чем ошибка приведенной в условии аргументации и понять механизм нарушения.

[Munin]

obar в сообщении #558723 писал(а):

Первоначальная конфигурация обладала аксиальной симметрией, которая при сколь угодно малом поле провода скачком нарушается.

Хорошо. Возьмите конечное поле провода, чтобы выбранная линия поля была какой-то рациональной намоткой тора. И меняйте поле провода на сколь угодно малую величину.

Не думал, что в симметрии задачи какую-либо роль играет дискретная зеркальная симметрия.

obar в сообщении #558723 писал(а):

После же включения картина меняется непрерывно, ни каких скачков не происходит.

Нет, "число намотки" становится то конечным (при рациональных намотках), то бесконечным.

[obar]

Munin в сообщении #558727 писал(а):

Возьмите конечное поле провода, чтобы выбранная линия поля была какой-то рациональной намоткой тора. И меняйте поле провода на сколь угодно малую величину.

Если для одной линии поля число намотки рационально, то для сколь угодно близкой линии (проходящей чуть ближе к проводу или чуть дальше от него) оно уже будет вообще говоря иррациональным. При малом изменении поля эта картинка сохранится: те линии, которые имели иррациональное число намотки станут рациональными и наоборот. Качественно ничего не меняется, нет скачков.

[Munin]

obar в сообщении #558736 писал(а):

Если для одной линии поля число намотки рационально, то для сколь угодно близкой линии (проходящей чуть ближе к проводу или чуть дальше от него) оно уже будет вообще говоря иррациональным.

Ещё один аргумент, чтобы не воображать про это число слишком много :-)

[obar]

Munin в сообщении #558737 писал(а):

Ещё один аргумент, чтобы не воображать про это число слишком много

Так это ни какой не аргумент: у вас вначале была мешанина линий и потом осталась такая же мешанина, лишь слегка сдвинутая.

[Munin]

Нет, аргумент в том смысле, что ни для какой линии нельзя это самое "число намотки" даже посчитать, поскольку нельзя на неё практически точно попасть, да и потом не сползти.

А то, что линии составляют мешанину, не спорю. Именно поэтому никаких "чисел намотки" в этой мешанине нет. Есть только векторное поле, слава ему и уравнения Максвелла, а интегрировать его - занятие бессмысленное.

[obar]

Munin в сообщении #558745 писал(а):

аргумент в том смысле, что ни для какой линии нельзя это самое "число намотки" даже посчитать, поскольку нельзя на неё практически точно попасть, да и потом не сползти.

Если бы даже число намотки сохранялось, то приведенный пример не опровергает возможность существования такого инварианта, а просто показывает, что существуют конфигурации, в которых этот инвариант "не работает" (по указанной вами причине). Но мыслимы ситуации, в которых бы он мог работать (как в условии задачи).

[type2b]

eins
zwei

[obar]

Оказывается, я перепутал Максвелла с лордом Кельвином. Это он с "заузленным" полем-частицей баловался.
Спасибо, почитаю.