Дифференциальное уравнение

[alex7851]

Неспециальный универ, 2 курс. Дано дифф. уравнение:
$y^{2}dx+(e^{x}-y)dy=0$
По идее, нужно найти интегрирующий множитель, чтобы привести его к уравнению в полных дифференциалах. Этого сделать не удается. Впрочем, вот что говорит на этот счет WolframAlpha:

Ошибка в условии и мне стоит так и сказать преподу?

[mihiv]

Умножить на $\dfrac {e^{-x}}{y} .$

[alcoholist]

вольфрам же туповат... ему нужно ввести
$x^2y'+e^y-x=0$
(поменяли местами $x$ и $y$)

[alex7851]

Угу, так решается. Спасибо большое всем. Но только вопрос: вот это - $\frac{e^{-y}}{x}$ как-нибудь можно найти на бумаге, хоть какие-нибудь соображения? Мэпл то считает, но интересно, как без него сделать.
UPD: Ну тут нужно догадаться, что интегрирующий множитель является функцией от $xe^{y}$. Тогда, используя соображения отсюда: http://www.math24.ru/using-integrating-factor.html легко найти сам множитель. Но извините..

[alcoholist]

alex7851 в сообщении #557843 писал(а):

вот это - $\frac{e^{-y}}{x}$ как-нибудь можно найти на бумаге

Замена $z=e^{\pm x}$ сразу напрашивается. После нее уравнение превращается в

$$ \pm \frac{y^2}{z}\,dz+(z^{\pm 1}-y)dy=0 $$

Отсюда видно, что надо выбрать знак минус и получить

$$ z'-\frac{z}{y^2}+\frac{1}{y}=0\quad - $$

линейное уравнение