Собственный вектор, собственые значения. Геометрический смыс

[Alexeybk5]

Здравствуйте, никак не доходит до меня геометрический смысл собственного вектора. Вы не могли бы пожалуйста пояснить его.
В частности пример из википедии
http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue ... genvectors
"Examples in the plane
The following table presents some example transformations in the plane along with their 2×2 matrices, eigenvalues, and eigenvectors."

В особенности я не понимаю, для чего применяется понятия собственного вектора в Численных методах, при использовании итерационных методов решения уравнения (в частности при декомпозиции матрицы А, на 2 матрицы?)
$A=D-E-F $
при условии, что
$\rho(M^{-1} N) < 1$ где в методе Якоби $A=D-(E+F), M=D, N=E+F$

[Munin]

Alexeybk5 в сообщении #557491 писал(а):

Здравствуйте, никак не доходит до меня геометрический смысл собственного вектора. Вы не могли бы пожалуйста пояснить его.
В частности пример из википедии
http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue ... genvectors
"Examples in the planeThe following table presents some example transformations in the plane along with their 2×2 matrices, eigenvalues, and eigenvectors."

Этот пример не предназначен для пояснения, а скорее дан для полноты. Пояснение дано выше, в самом начале, где там Мону Лизу сдвигают. Лучше разберитесь с геометрическим смыслом на примере действительных матриц, с. ч. и с. в., а комплексные представляйте себе по аналогии, когда перейдёте к комплексным матрицам.

[Alexeybk5]

Munin в сообщении #557544 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #557491 писал(а):

Здравствуйте, никак не доходит до меня геометрический смысл собственного вектора. Вы не могли бы пожалуйста пояснить его.
В частности пример из википедии
http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue ... genvectors
"Examples in the planeThe following table presents some example transformations in the plane along with their 2×2 matrices, eigenvalues, and eigenvectors."

Этот пример не предназначен для пояснения, а скорее дан для полноты. Пояснение дано выше, в самом начале, где там Мону Лизу сдвигают. Лучше разберитесь с геометрическим смыслом на примере действительных матриц, с. ч. и с. в., а комплексные представляйте себе по аналогии, когда перейдёте к комплексным матрицам.

Ну а как понять сдвиг Моны Лизы? , какой параметр её сдвигает ?
Т.е. как бы понятно, что синий вектор, это собственное значение матрицы. Но как мы сдвигаем , и собственно зачем это нужно ?

[Munin]

Alexeybk5 в сообщении #557559 писал(а):

Т.е. как бы понятно, что синий вектор, это собственное значение матрицы.

Нет. Вектор - это вектор, значение - это значение, число.

Alexeybk5 в сообщении #557559 писал(а):

Но как мы сдвигаем , и собственно зачем это нужно ?

Низачем. Сдвиг - это иллюстрация матрицы. Матрица - в одном из своих обличий - это линейное преобразование пространства. Это её геометрический смысл (один из). И взяв за основу его, можно дальше рассказывать, что такое собственные числа и собственные векторы.

Если у вас такие затруднения, вернитесь на один - несколько шагов назад. Вспомните, какие бывают линейные преобразования плоскости. Сопоставьте их с матрицами. Когда научитесь рассуждать об этом и представлять себе это бегло, возвращайтесь к собственным векторам и числам.

Вообще, при заминках возвращаться назад, к базовому предшествующему материалу - очень полезный рецепт.

[Alexeybk5]

Спасибо, Вы не могли бы в таком случае посоветовать книгу, в которой было бы побольше иллюстраций. Курс линала у меня был 2 года назад, да и графическая сторона была преподнесена слабо.
Но всё же, Вы не могли бы подсказать, как всё таки это связано с Численными методами, и зачем такое условие используется?

Alexeybk5 в сообщении #557491 писал(а):

В особенности я не понимаю, для чего применяется понятия собственного вектора в Численных методах, при использовании итерационных методов решения уравнения (в частности при декомпозиции матрицы А, на 2 матрицы?)

при условии, что
где в методе Якоби

[Munin]

Alexeybk5 в сообщении #557627 писал(а):

Спасибо, Вы не могли бы в таком случае посоветовать книгу, в которой было бы побольше иллюстраций. Курс линала у меня был 2 года назад, да и графическая сторона была преподнесена слабо.

Не могу. Зато могу посоветовать взять любой курс линала, хоть ваш собственный конспект 2-летней давности, перечитать его, проделать выкладки, и нарисовать на каждый более-менее интересный момент собственный рисунок.

Alexeybk5 в сообщении #557627 писал(а):

Но всё же, Вы не могли бы подсказать, как всё таки это связано с Численными методами, и зачем такое условие используется?

В численных методах используется не геометрический смысл с. в., а тот факт, что в базисе с. в. матрица особенно просто выглядит, и с ней можно удобно и эффективно работать.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #557640 писал(а):

а тот факт, что в базисе с. в. матрица особенно просто выглядит, и с ней можно удобно и эффективно работать.

Можно кубик порезать плоскостями, параллельными его граням — получатся маленькие паралл- короче, ящички. А можно порезать его наискосок, и получатся жуткие многогранники. Хотя, конечно, это не геометрический образ, а скорее, аналогия, и приложима она ко всем местам, где делаются замены переменных...

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #557627 писал(а):

Курс линала у меня был 2 года назад, да и графическая сторона была преподнесена слабо.

В линале в принципе нет никакой графической стороны. Она появляется лишь потом, в приложениях линала (желательно, конечно, параллельно; именно по этой причине традиционно и объединяются "линейная алгебра" и "аналитическая геометрия"). В первую очередь -- в той же аналитической геометрии и в экстремумах функций нескольких переменных.

Но чтобы это осознать -- надо учить. Что поделать, бяда такая.

[Munin]

ewert в сообщении #557648 писал(а):

В линале в принципе нет никакой графической стороны.

Ну, это перебор. Там вся мотивация и терминология происходит из геометрии: что такое векторы, зачем изучать замены базисов...

[ewert]

Munin в сообщении #557674 писал(а):

Ну, это перебор. Там вся мотивация

Ну это смотря что считать курицей, а что яйцом. Я же не случайно сказал, что не случайно пр инято одновременно.