2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 10:54 


24/03/12
76
$1. \lim\limits_{x\to 0} (\int\limits_0^x \sin (t^2)\,dt)/x^3$
Тут как я понимаю можно применить Лопиталя.
$2. \int\limits_5^6 e^{(x-5)^2}\,dx-\int\limits_{-4}^{-3} e^{(x+3)^2}\,dx$
$3. \lim\limits_{n\to \infty} (\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n}{(n+1)!})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 11:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Arcanine в сообщении #557355 писал(а):
$2. \int\limits_5^6 e^{(x-5)^2}\,dx-\int\limits_{-4}^{-3} e^{(x+3)^2}\,dx$

Замены.

Arcanine в сообщении #557355 писал(а):
$3. \lim\limits_{n\to \infty} (\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n}{(n+1)!})$

$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n}{(n+1)!}=\frac{2}{2!}+\frac{3}{3!}+...+\frac{n+1}{(n+1)!}-(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n+1)!})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 13:06 


24/03/12
76
2. $=-\int\limits_{-1}^0 e^{t^2}dt+$\int\limits_0^1 e^{t^2}dt$$
А дальше как? :-)
3. $f(x)=\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+...+\frac{1}{n!}x^n=e^x-1$
$g(x)=\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...+\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}=e^x-x-1$
$S=f(1)-g(1)=1$
Так вроде? :-)

(Оффтоп)

А как с 1-ым быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 13:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Arcanine в сообщении #557409 писал(а):
А дальше как? :-)

Ещё одну замену.

Arcanine в сообщении #557409 писал(а):
Так вроде? :-)

Нет, не так: экспонента -- это бесконечная сумма, а не конечная. С другой стороны, для конечной суммы практически всё при вычитании сократится.

Arcanine в сообщении #557409 писал(а):
А как с 1-ым быть?

Лопиталить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 13:25 


24/03/12
76
Цитата:
Лопиталить.

ewert а как обосновать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 13:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Лопиталь -- он самообосновывающийся: если предел отношения производных -- то, значит, так тому и быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 13:47 


24/03/12
76
ewert а разве числитель не должен стремиться к нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 13:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А он разве не стремится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 14:30 


06/04/12

33
а не проще ли в первом примере просто убрать синус? Ведь t маленькое...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 14:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sapsar в сообщении #557450 писал(а):
а не проще ли в первом примере просто убрать синус? Ведь t маленькое...

Можно, но понадобятся некоторые формальные дополнительные оправдания. В Лопитале их не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 15:38 


24/03/12
76
Цитата:
Ещё одну замену.

ewert А какую? $t^2?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 15:49 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Arcanine в сообщении #557409 писал(а):
2. $=-\int\limits_{-1}^0 e^{t^2}dt+$\int\limits_0^1 e^{t^2}dt$$

Я бы просто написал, что в сумме они дают 0, так как $e^{t^2}$ - чётная функция)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы и предел
Сообщение07.04.2012, 15:51 


24/03/12
76
MrDindows Точняк. Получается как нечетная функция на отрезке [-a;a]. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group