Безспиновая частица в магнитном поле.

[Munin]

Bulinator в сообщении #555817 писал(а):

Из высоких физических соображений следует, что в.ф. должна обращаться в нуль на бесконечности ибо там вероятность чего-нибудь найти равна нулю. Далее в.ф. нужно нормировать. Тут возможно 2 случая- непрерывный и дискретные спектры... А впрочем, это все рассказано в Главе 1 того же Ландафшица.

По-моему, наоборот, мы сначала отвлекаемся от непрерывного спектра, и тогда можем сказать, что на бесконечности ничего нет. А если мы рассматриваем непрерывный спектр, то как раз ровно наоборот, на бесконечности у нас есть падающие и рассеянные волны, и нормировать всё надо на поток.

[Bulinator]

Munin в сообщении #555880 писал(а):

По-моему, наоборот, мы сначала отвлекаемся от непрерывного спектра, и тогда можем сказать, что на бесконечности ничего нет. А если мы рассматриваем непрерывный спектр, то как раз ровно наоборот, на бесконечности у нас есть падающие и рассеянные волны, и нормировать всё надо на поток.

Да, да, Вы правы. Я ошибся.
(Оправдываюсь) Был первый час ночи, я думал о прекрасном.

[obar]

Munin в сообщении #555880 писал(а):

если мы рассматриваем непрерывный спектр, то как раз ровно наоборот, на бесконечности у нас есть падающие и рассеянные волны

Интересно, куда рассеиваются частицы в однородном магнитном поле? И вообще, как тут можно говорить про рассеяние, если поле занимает все пространство и отсутствуют плоские волны на бесконечности. Поток частиц вдоль поля постоянен и интереса не представляет. Что же касается потока в перпендикулярной плоскости, то его наличие или отсутствие зависит от того, какими квантовыми числами задается состояние. Если рассматривать состояния с определенной проекцией момента на направление магнитного поля, то поток частиц в перпендикулярном направлении на бесконечности отсутствует. Это особенно очевидно в аксиальной калибровке (и поскольку поток от калибровки не зависит, то верно и в любой другой). Но отсутствие потока в поперечном направлении не есть универсальный закон. Часто приводят и другое решение (ЛЛ3, п.112) в котором поток частиц вдоль оси $X$ постоянен (при постоянном $y$). Для такого решения существует некоторая линия раздела вдоль оси $X$, ниже которой поток по оси $X$ положителен, а выше отрицателен. В классике такому решению отвечает совокупность частиц, центры круговых орбит которых лежат на линии раздела.

[Munin]

obar в сообщении #556811 писал(а):

Интересно, куда рассеиваются частицы в однородном магнитном поле?

Вперёд :-) Хороший пример, спасибо. Я-то подразумевал систему, ограниченную в пространстве.

obar в сообщении #556811 писал(а):

Поток частиц вдоль поля постоянен и интереса не представляет.

Ну почему, упомянуть его стоит. Хотя бы для полноты базиса. Иначе как рассчитать, что произойдёт с частицей, влетающей в поле откуда-то слева снизу под углом?

[ewert]

Mitrandir в сообщении #555789 писал(а):

но какие граничные условия поставить???

$H=H_{\rho,\varphi}+H_z$, причём слагаемые $H_{\rho,\varphi}$ и $H_z$ сами по себе самосопряжены и коммутируют. Поэтому спектр всего гамильтониана получается суммированием спектров этих двух операторов (в том смысле, что каждая точка спектра $H$ является суммой какой-либо точки спектра $H_{\rho,\varphi}$ и какой-либо точки спектра $H_z$). Со спектром $H_z$ всё ясно -- он чисто непрерывен и заполныет собой правую полуось. А спектр $H_{\rho,\varphi}$, наоборот, чисто дискретен -- просто потому, что в этом операторе присутствует слагаемое $\rho^2$ потенциального типа, уходящее на бесконечности в бесконечность; точи этого спектра -- это и есть уровни Ландау. И поскольку мы знаем, что для этой части оператора числа являются собственными в точном смысле, т.е. что соответствующие решения представляют собой связанные состояния -- естественным образом требование на собственные числа сводится к стремлению решения к нулю на бесконечности по радиальной переменной.

В результате возникает достаточно своеобразная картина спектра. Он начинается с нижнего уровня Ландау и чисто непрерывен, но при этом бесконечнократно вырожден. И после каждого следующего уровня Ландау кратность вырождения в некотором смысле дополнительно увеличивается на единицу.

-- Пт апр 06, 2012 14:13:46 --

obar в сообщении #556811 писал(а):

Интересно, куда рассеиваются частицы в однородном магнитном поле?

Никуда. Они целеустремлённо летят вперёд (и/или назад) по направлению поля, оставаясь при этом локализованными в некоторой трубке -- настолько, насколько можно вообще говорить о локализации волновых функций.

[obar]

ewert в сообщении #556968 писал(а):

Они целеустремлённо летят вперёд (и/или назад) по направлению поля, оставаясь при этом локализованными в некоторой трубке.

Эти слова бессмысленны, пока вы не указали, каким именно набором квантовых чисел задается состояние. Например, состояние свободной частицы можно описать, задав энергию и импульс, а можно задать энергию, момент и проекцию момента на некоторую ось. В частности, ВФ свободной частицы в $S$-состояния имеет вид

$$ \psi=A\frac{\sin kr}{r}\,.\quad\quad\mbox{Куда

Ясно, что классическая трактовка такой ВФ не имеет ничего общего с трактовкой плоской волны. То же относится и к частице в магнитном поле. Можно задать такие состояния, что рассуждения о том, куда летит такая частица станут совершенно бессмысленными.

ewert в сообщении #556968 писал(а):

$H=H_{\rho,\varphi}+H_z$, причём слагаемые $H_{\rho,\varphi}$ и $H_z$ сами по себе самосопряжены и коммутируют.

Ваше рассуждение про гамильтониан также бессодержательно, пока вы не указали, в какой калибровке вы работаете. В разных калибровках разбиение на подпространства происходит по разному. В данном случае вы используете аксиальную калибровку и это нужно оговаривать.

[ewert]

Зетовая компонента коммутирует с ортогональной к ней независимо от всего остального. А калибровка в ортогональной к зет плоскости по умолчанию согласовывается с выбранной координатной системой в этой плоскости. И вообще: о чём Вы?...

obar в сообщении #557052 писал(а):

ВФ свободной частицы в $S$-состояния имеет вид

$$ \psi=A\frac{\sin kr}{r}\,.\quad\quad\mbox{Куда

Никуда, нет такой частицы в магнитном поле.

[obar]

ewert в сообщении #557066 писал(а):

Зетовая компонента коммутирует с ортогональной к ней независимо от всего остального.

От чего "всего остального"? Выберите векторный потенциал в виде $A=B(y-z,2x+z,y-x)$ и попробуйте разделить переменные. Очень популярен выбор потенциала в виде $A=B(-y,0,0)$. Разделение переменных проводится тут по другой схеме.

ewert в сообщении #557066 писал(а):

Никуда, нет такой частицы в магнитном поле.

Я привел этот пример со свободной частицей как более простой и наглядный. Если вы уверенны, что в магнитном поле ситуация с трактовкой "кто куда летит" проще, попробуйте найти решение УШ, переходящее в приведенную выше функцию $S$-состояния при выключении поля и поясните, куда летит она.

(Оффтоп)

Похоже, что этот диалог не нужен ни мне, не вам. Вы же не зеленый юнец, ни разу не видевший УШ.

[Munin]

obar в сообщении #557155 писал(а):

Вы же не зеленый юнец, ни разу не видевший УШ.

О, вы недооцениваете ewert!

[ewert]

obar в сообщении #557155 писал(а):

Выберите векторный потенциал в виде $A=B(y-z,2x+z,y-x)$ и попробуйте разделить переменные.

Выберите потенциал в виде "свёкла, яблоко, Марокко" -- и попробуйте разделить.

Переменные в каждой конкретной задачке выбираются не наобум, а исходя из эффективности дальнейшего решения. В данном конкретном случае -- исходя из очевидной аксиальной симметричности задачки.

-- Пт апр 06, 2012 22:22:38 --

obar в сообщении #557155 писал(а):

Если вы уверенны, что в магнитном поле ситуация с трактовкой "кто куда летит" проще,

Она не проще, она попросту качественно другая. И Вы как (в отличие от меня) физик могли бы и обратить внимание на наличие в этой другой задачке выделенного направления, это же так просто.

[g______d]

obar в сообщении #557052 писал(а):

ewert в сообщении #556968 писал(а):

$H=H_{\rho,\varphi}+H_z$, причём слагаемые $H_{\rho,\varphi}$ и $H_z$ сами по себе самосопряжены и коммутируют.

Ваше рассуждение про гамильтониан также бессодержательно, пока вы не указали, в какой калибровке вы работаете. В разных калибровках разбиение на подпространства происходит по разному. В данном случае вы используете аксиальную калибровку и это нужно оговаривать.

Да, но операторы, отвечающие разным калибровкам, унитарно эквивалентны. На спектральные свойства это не влияет.

[g______d]

О какой-то теории рассеяния для данного гамильтониана по отношению к свободному оператору действительно вряд ли получится говорить, т. к. возмущение растет на бесконечности и надежды на существование и полноту волновых операторов мало. Скорее всего, у них даже абсолютно непрерывные части спектра не унитарно эквивалентны, т. к. энергия основного состояния разная (впрочем, последнее я не проверял).

[ewert]

g______d в сообщении #557777 писал(а):

энергия основного состояния разная (впрочем, последнее я не проверял).

Естественно: нижняя граница спектра у второго -- это наименьший из уровней Ландау, и он вполне себе положителен. Абсолютно непрерывны же оба спектра.

[obar]

ewert в сообщении #557790 писал(а):

нижняя граница спектра у второго -- это наименьший из уровней Ландау, и он вполне себе положителен.

Для справки: нижний уровень Ландау становится отрицательным, если учесть аномальную часть магнитного момента электрона (т.е. при любом магнитном моменте не кратном магнетону Бора). Это важное свойство спектра используется для прецизионного измерения магнитного момента.

[ewert]

obar в сообщении #557807 писал(а):

если учесть аномальную часть магнитного момента электрона

Согласно заголовку -- он безспиновый. Впрочем, качественно на результат это всё равно не влияет.