Исследовать ряд на сходимость.

[Иван_85]

Исследовать на сходимость ряд.
$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{1+n}{n-1}$.
Как я понимаю, этот ряд расходится.
$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{3}{1}+\frac{1}{\sqrt{3}}\ln\frac{4}{2}+\frac{1}{\sqrt{4}}\ln\frac{5}{3}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}>\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\ln\frac{3}{1}+\ln\frac{4}{2}+\ln\frac{5}{3}+...+\ln\frac{n}{n-2}+\ln\frac{n+1}{n-1}\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n(n+1)}{2}.$
Как показать, что
$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n(n+1)}{2}=+\infty$?

[ewert]

Иван_85 в сообщении #556970 писал(а):

Как показать, что
$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n(n+1)}{2}=+\infty$?

Никак, это неверно. Кроме того, Ваша оценка слишком груба. Кроме того, она не нужна, а надо просто заменить исходный логарифм на эквивалентное ему выражение, пользуясь вторым замечательным пределом.

[Иван_85]

ewert в сообщении #556978 писал(а):

Никак, это неверно. Кроме того, Ваша оценка слишком груба. Кроме того, она не нужна, а надо просто заменить исходный логарифм на эквивалентное ему выражение, пользуясь вторым замечательным пределом.

$p_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\frac{2}{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{2}{n-1}\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}}$.
Так?

[ewert]

Иван_85 в сообщении #556982 писал(а):

$p_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\frac{2}{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{2}{n-1}\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}}$.
Так?

Ну можно и так; только зачем искать себе приключений на разные части тела? Просто вспомните, чему эквивалентен $\ln(1+\varepsilon)$.

[Иван_85]

ewert в сообщении #556984 писал(а):

Ну можно и так; только зачем искать себе приключений на разные части тела? Просто вспомните, чему эквивалентен $\ln(1+\varepsilon)$.

$\ln(1+\varepsilon)\sim \varepsilon + o\left(\varepsilon^2\right)$, $\varepsilon\rightarrow 0$.
$p_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{2}{n-1}+o\left(\left(\frac{2}{n-1}\right)^2\right)\right)$.
А что дальше?

$p_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{2}{n-1}>\frac{1}{n^2}$.
Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$ расходится. Следовательно расходится и исходный ряд. Так?

[Dan B-Yallay]

Иван_85 в сообщении #556991 писал(а):

Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$ расходится.

[Иван_85]

Dan B-Yallay в сообщении #557030 писал(а):

Тьфу ты! Мне нужно отдохнуть.

[ewert]

Иван_85 в сообщении #556991 писал(а):

$\ln(1+\varepsilon)\sim \varepsilon + o\left(\varepsilon^2\right)$, $\varepsilon\rightarrow 0$.

Кстати, запись неправильная: надо $\ln(1+\varepsilon)\sim \varepsilon$, или $\ln(1+\varepsilon)=\varepsilon + o\left(\varepsilon\right)$, или $\ln(1+\varepsilon)=\varepsilon + O\left(\varepsilon^2\right)$.

[Иван_85]

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{2}{n-1}\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{2}{n-1}-\beta_n\frac{2}{n-1}\right)$,
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\beta_n=0$.
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2}{1-\frac{1}{n}}-\beta_n \frac{2}{1-\frac{1}{n}}\right)=2$
$\Rightarrow$ ряд с общим членом $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}$ сходится.
Правильно?

[alcoholist]

Иван_85 в сообщении #558586 писал(а):

Правильно?

Правильно. Только по какому признаку сходится-то?

[Иван_85]

alcoholist в сообщении #558587 писал(а):

Правильно. Только по какому признаку сходится-то?

Пусть $a_n>0$ и $b_n>0$.
Тогда, если существует предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=K<+\infty$, то из сходимости ряда с общим членом $b_n$ следует сходимость ряда с общим членом $a_n$.