упражнения из курса мат. анализа Кудрявцева.

[MayorBarbariska]

помогите пожалуйста разобраться с двумя упражнениями из курса мат. анализа Кудрявцева.
1) нужно доказать, что свойство непрерывности действительных чисел равносильно следующему: каковы бы ни были непустые множества: $A \subset R$ и $B \subset R$, у которых для любых элементов $a \in A$ и $b \in A$ выполняются неравенства $a \le b$, существует такое число $\varepsilon$, что для всех $a \in A$ и $b \in B$ имеет место соотношение $a \le \varepsilon \le b$.

2) пусть $B=\{x:x^2, x \in Q\}$, $A=Q \setminus B$. Доказать, что множества $A$ и $B$ образуют сечение в поле рациональных чисел $Q$ и что это сечение не определяется никаким рациональным числом.

[Human]

MayorBarbariska в сообщении #553091 писал(а):

каковы бы ни были непустые множества: $A \subset R$ и $B \subset R$, у которых для любых элементов $a \in A$ и $b \in A$ выполняются неравенства $a \le b$, существует такое число $\varepsilon$, что для всех $a \in A$ и $b \in B$ имеет место соотношение $a \le \varepsilon \le b$.

Насколько я помню, именно так и определяется свойство непрерывности в курсе Кудрявцева. Или у Вас есть другое определение?

MayorBarbariska в сообщении #553091 писал(а):

пусть $B=\{x:x^2, x \in Q\}$, $A=Q \setminus B$. Доказать, что множества $A$ и $B$ образуют сечение в поле рациональных чисел $Q$ и что это сечение не определяется никаким рациональным числом.

Я сейчас сижу с электронным вариантом учебника Кудрявцева и читаю там несколько другое условие: $B=\{x:x^2 > 2,x > 0, x\in Q\}$.

-- 28.03.2012, 21:32 --

И ещё: если у Вас издание 2003 года, то не могли бы Вы указать страницу, где формулируется первое упражнение, я не могу его найти.

[MayorBarbariska]

Цитата:

Я сейчас сижу с электронным вариантом учебника Кудрявцева и читаю там несколько другое условие

извиняюсь, вот верное условие $B= \{x:x^2 > 2, x \in Q\}$, $A=Q \setminus B$

Цитата:

если у Вас издание 2003 года

к сожалению у меня старое издание 1981 года. это самое первое упражнение, страница 19, параграф 2.1 "Свойства действительных чисел"

Цитата:

Насколько я помню, именно так и определяется свойство непрерывности в курсе Кудрявцева

в задании это требуется доказать. я только добрался до мат анализа, вроде понимаю, что происходит и о чем идет речь, но сформулировать строгое доказательство не выходит.

[Human]

MayorBarbariska в сообщении #553214 писал(а):

в задании это требуется доказать.

Возможно там определение дается через сечения. В новом издании это упражнение, видимо, разобрано просто в виде доказательства равносильности, которое дает сам Кудрявцев. Чуть позже дам Вам ссылку на новое издание, думаю, что оно будет лучше, тем более, что вот это

MayorBarbariska в сообщении #553214 писал(а):

извиняюсь, вот верное условие $B= \{x:x^2 > 2, x \in Q\}$, $A=Q \setminus B$

без упоминания $x>0$ неверно: множества $A$ и $B$ не являются сечением.

-- 29.03.2012, 00:36 --

Эх, чето боюсь я внешние ссылки давать
В общем, вот, самый первый сайт, только там файл со вторым томом битый, так что только есть 1-ый и 3-ий. Ну, я думаю Вам хватит на первое время

[MayorBarbariska]

спасибо за ваши ответы. скачал электронный вариант, но у меня не всегда есть доступ к компьютеру, так что продолжу разбираться со старым изданием.
вы не против если я тут буду периодически оставлять свои вопросы? преподавателя вижу не часто, а самому разобраться не всегда выходит.

[Human]

Сам я не преподаватель, а обычный рядовой студент. Так что оставляйте, но многого от меня не ждите, я в матане не особо силён. Если что, возможно Вам другие участники форума помогут.

[MayorBarbariska]

у меня вопросы в простые, по основным определениям и в обозначениях путаюсь. вот например определение 2, из параграфа 3.1 (предел последовательности): "число $a$ называется пределом данной последовательности $\{a_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $n_\varepsilon$, что для всех номеров $n \ge n_\varepsilon$ выполняется неравенство $|a_n - a|<\varepsilon$".
вопрос собственоо вот, если допустим взять последовательность $\{1/n\}$, выбираю произвольную $\varepsilon=3/4$, то чему будет равняться $n_\varepsilon$?

[PAV]

MayorBarbariska в сообщении #556692 писал(а):

вопрос собственоо вот, если допустим взять последовательность $\{1/n\}$, выбираю произвольную $\varepsilon=3/4$, то чему будет равняться $n_\varepsilon$?

а чему равен предел этой последовательности?

[Human]

PAV в сообщении #556694 писал(а):

а чему равен предел этой последовательности?

Кстати да. Прежде чем выбирать всякие $\varepsilon$ и $n_{\varepsilon}$, нужно сначала определиться с выбором числа $a$ - оно ведь выбирается раньше всего остального. То есть сперва нужно, собственно, догадаться, какой у этой последовательности может быть предел.

[MayorBarbariska]

Цитата:

а чему равен предел этой последовательности?

$\lim\limits_{n\to \infty}(1/n)=0

[Human]

MayorBarbariska в сообщении #556777 писал(а):

$\lim\limits_{n\to \infty}(1/n)=0

Другими словами мы берём $a=0$ и проверяем определение для $\varepsilon=\frac34$, так?
То есть нам нужно найти такое $n_\varepsilon$, чтобы при всех $n\geqslant n_\varepsilon$ выполнялось неравенство

$$\frac1n<\frac34$$

Вы можете подобрать такое $n_\varepsilon$?

[Maslov]

MayorBarbariska, может быть, по картинке будет понятнее.

На самом деле, определение предела последовательности означает буквально следующее: какое бы $\varepsilon$ мы ни выбрали, начиная с некоторого $N_{\varepsilon}$ все члены последовательности будут лежать внутри "полоски" :) шириной $2 \varepsilon$ вокруг этого самого предела $a$.

Выберем $\varepsilon$ побольше, полоса будет пошире, $n_{\varepsilon}$ -- поменьше; уменьшим $\varepsilon$ -- полоска сузится, $n_{\varepsilon}$ надо будет брать побольше.

В Вашем конкретном случае надо подобрать такое $n_{3/4}$, что начиная с него все значения $1/n$ попадают в диапазон $(-3/4, 3/4)$.

[MayorBarbariska]

спасибо, с определением разобрался. но есть еще вопрос о том, как $n_\varepsilon$ зависит от выбранного $\varepsilon$ и что оно из себя представляет геометрически?

[Maslov]

Ну подумайте сами.

Возьмем $\varepsilon = \frac 1 4$. Начиная с какого $n$ все $a_n = \frac 1 n$ окажутся внутри интервала $(-\frac 1 4, \frac 1 4)$?

А если взять $\varepsilon = \frac 1 {10}$?

[Human]

MayorBarbariska в сообщении #556809 писал(а):

есть еще вопрос о том, как $n_\varepsilon$ зависит от выбранного $\varepsilon$ и что оно из себя представляет геометрически?

Не понял Вашего вопроса. Мы сами выбираем $n_\varepsilon$ для каждого $\varepsilon$. А выбирать можно как угодно, лишь бы неравенство выполнялось (все точки, начиная с $n_\varepsilon$, попадали в "полоску" выбранной ширины).